数项级数敛散性判别

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1、论文名称：总结数项级数敛散性的判别法作者：杨丽妹专业：数学勷勤创新班学号：20120008001总结数项级数敛散性的判别法【摘要】总结如何根据数项级数的特点来选择合适的数项级数敛散性的判别方法。【关键词】正项级数一般项级数绝对收敛条件收敛发散【正文】数项级数在级数理论中有着非常重要的作用。数项级数的敛散性判断是我们学习、把握数项级数的一个重要方面。判断数项级数的方法多种多样。如果接触到的题目是要求是要求我们根据特定的方法去判断数项级数的敛散性，那么题目还不算是很难的。如果没有特定的方法要求，我们就可能会出现这样的情况：试了很多种方法，走

2、了很多弯路还是没有得到最后的结论。于是我们可以体会到根据数项级数的特点选择合适的方法来判断数项级数的敛散性的重要性了。lima0limalima0nnn第一步，先判断n是否成立。如果n不存在或者n,则根据数项级数收敛的必要条件（Cauchy收敛准则的一个推论）可an以判断为n1发散级数。n2n12n2(1)(2)n113n22(1)2例1：n1为发散级数。由n13(2)n23以及2n122n2(2n1)11nn1n1(1)2lim(1)2(1)2n13(2n1)2

3、3可知n3n2不存在。故n13n2为发散级数。n1nlim1e(11)nn例2：n1n为发散级数。因为n1(1)所以n1n必定为发散级数。lima0n如果n成立，则需往下进行第二步判断。如果很容易求出部分和Sn关于n的表达式，则可将判断级数敛散性问题转化为判断n数列{Sn}敛散性的问题，从而得出结论。（其中snak)k1下面给出相关例子。1ln(12)例3.n2nnsnakln(n1)1nnln2解：由k11lims12nln(12)得nn因此级数n

4、2n收敛关于利用部分和数列{Sn}来判断级数的敛散性，我总结了几种比较常见的方法。上面的例三使用的是前后项抵消的方法。类似的方法a有裂项相消法和错位相消法（当n的通项是等差数列乘以等比数列时an常用错位相消法，如n=n2）但是也有一些级数，求出{Sn}的通项公式很麻烦，但是只是判断级数收敛与否不一定要求出{Sn}，可以选择其他的判别方法。第三步，判断级数是正项级数还是一般项级数，对于正项级数可以考虑的判断敛散性的方法有cauchy收敛准则正项级数的一般判别法cauchy积分判别法④比较判别法及其推论形式⑤根值法a⑥比值法⑦拉贝判别法⑧利用

5、线性性质（n只要保证每项符号都相同就可以使用正项级数的敛散性判断方法）①cauchy收敛准则适用一些通项比较容易被放缩的级数，例如sinnsinn111n1n(n1)这样的式子的放缩很显然很直接（n(n1)n(n1)nn1）。因为cauchy收敛准则中需要用到an1an2......anp（，NN，当n>N，对于pN都成立,所以如果通项比较容易放缩的话，比较aa......a容易看出n1n2np是否成立，从而判断出数项级数的敛散性）an②正项级数的一般判别法：正项级数n1

6、收敛的充要条件是部分和数列{Sn}有上界（这是单调递增有上界的数列必有极限的一个应用，这种解法的关键之处是找出上界）na23n例：n1(1a)(1a)(1a)...(1a)（a>0）的敛散性判断。n1a11123n23n123n(1a)(1a)(1a)...(1a)(1a)(1a)(1a)...(1a)(1a)(1a)(1a)...(1a)由这个式子可以看出{Sn}有上界1，故该数项级数收敛。a③cauchy积分判别法：这种方法使用的要求是n=f(n)对应的f(x)在[a，+∞）上单调递减，并且非

7、负（a的取值可以不是1，视具体情况而定）这种方法的理论依据是一般判别法，通过借用无穷积分的敛散性来判断正项级数有无上界实现正项级数敛散性判断。1例：判断级数n1nlnln(lnn)n的敛散性。1f(x)解：令xlnln(lnx)x，则f(x)在[3,+∞）上非负单调递减，1dtdxlnt3xln(lnlnx)xlnln3tlnln3由于1所以积分发散，故级数n1nlnln(lnn)n发散。④比较判别法及其极限推论形式（这种方法的理论依据是一般判anbn别法）：正项级数n1和n1，若存在正整数N,使

8、当n≧N时有0anbnbnananbn，则当n1收敛时，级数n1收敛；当n1发散时，n1发n1aqp散。（一般常用