数列极限的描述性定义对于数列

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1、数列极限的描述性定义对于数列{xn}，如果当n无限增大时，xn无限接近于某一常数a，那么就称数列{xn}收敛于a,或称常数a为数列{xn}的极限，记作limn→+∞xn=a或xn→a(n→+∞)数列极限的分析定义对于数列{xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（无论多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式xn-a<ε都成立，那么就称数列xn收敛于a，或称常数a为数列xn的极限，记作limn→+∞xn=a或xn→a(n→+∞)注：①从几何意义上看，“当n>N时，有xn-a<ε”表示：所有下标大于N的项xn都

2、落在邻域U（a,ε）之外，至多只含有数列xn的有限项。②在数列极限的定义中，若满足条件的常数a确实不存在，则称数列xn不收敛，或称数列xn为发散数列，也称数列极限limn→+∞xn不存在。数列极限的唯一性若数列xn收敛，则其极限是唯一的。收敛数列的有界性若数列xn收敛，则数列xn是有界的。数列的有界性仅仅是数列收敛的必要条件，而非充分条件。收敛数列的保号性设limn→+∞xn=a，若a>0(或a<0),则存在正整数N，当n>N时，都有xn>0(或xn<0).推论1若limn→+∞xn=a，且数列xn从某一项起有xn≥0

3、（或xn≤0），则a≥0（或a≤0）.收敛数列与其子数列的关系数列xn收敛于a的充分条件是其任一子数列也收敛于a。数列极限的四则运算法则对于数列xn和yn，若limn→+∞xn=a，limn→+∞yn=b，,则数列{xn±yn}，{xn∙yn}和{xnyn}（yn≠0，b≠0）都收敛，且有①②③特殊地，对于常数k，有设函数fx在[a,+∞）上有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论多么小)，总存在正实数M（M≥a），使得当x>M时，有fx-A<ε成立，则称常数A为函数fx当x趋于+∞时的极限，记作limn→+

4、∞fx=A或fx→A(x→+∞)即limn→+∞fx=A↔∀ε>0,∃M>0,使得当x>M时，有fx-A<ε设函数fx在点x0的某个去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论多么小)，总存在正数δ，使得当00,∃M>0,使得当x>M时，有fx-A<εx趋于x0时的极限，记作limn→x0fx=A或fx→A(x→x0)即limn→x0fx=A↔∀ε>0,∃δ>0,使得当0

5、数fx在x0的某一去心邻域内有定义，而一般不考虑它在点x0处是否有定义，或者取什么值）如果当x从左侧（右侧）趋于x0时，函数fx无限趋近于常数A，则称常数A为函数fx在x→x0时的左极限（右极限），记为limx→x0-f(x)=A(limx→x0+f(x)=A或f(x0+)=A).即左极限和右极限统称为单侧极限。函数fx在x→x0时的极限存在的充要条件是其左右极限都存在而且相等，即函数极限的唯一性若极限limx→x0fx存在，则该极限是唯一的。函数极限的局部有界性若limx→x0fx存在，那么函数fx在局部范围内就是有

6、界的，即存在常数M和δ>0，使得当00（或A<0）,那么就存在常数δ>0，使得当00(或者f(x)<0).推论如果x0的某一去心邻域内有fx≥0或fx≤0,且limx→x0fx=A,那么A≥0(或A≤0)。海涅定理设函数fx在点x0的某个去心邻域内有定义，则limx→x0fx存在的充要条件是对任何含于上述x0的去心邻域内，且以x0为极限的数列{xn},极限limn→+∞fx都存在且相等。函数极限的四则运算法

7、则x趋于x0时的极限，记作limn→x0fx=A或fx→A(x→x0)即limn→x0fx=A↔∀ε>0,∃δ>0,使得当0

8、左右极限都存在而且相等，即函数极限的唯一性若极限limn→x0fx存在，则该极限是唯一的。函数极限的局部有界性若limn→x0fx存在，那么函数fx在局部范围内就是有界的，即存在常数M和δ>0，使得当00（或A<0），那么就存在常数δ>0，使得当0