广州二中奥数培训讲义第9讲《三角综合问题》

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1、第9讲三角综合问题一.本专题学习目的1．熟练掌握正弦定理、余弦定理及其运用；2．会证明一些三角不等式.二.例题选讲例1．在中，记，若，求的值.点评:“切化弦”，再利用正弦定理或余弦定理把边角化一.变式1.在中，角所对的边分别为,且,求证:.变式2.在中，角所对的边分别为,且,求证:.例2.在中，角满足条件若的周长为12,求其面积的最大值.点评:利用条件判断三角形的形状,再选择计算面积的方法.变式3.在中，角所对的边分别为,若的面积为,且,求的值.变式4.在中，角所对的边分别为,已知,的外接圆的半径为.(1)求角;(2)求的面积的最大

2、值.例3.已知的三边长均为有理数,,判断和是否为有理数?点评:在解题时,仔细分析题设和目标式的结构特点,找出解题的桥梁,此题要充分利用角的关系,综合运用正、余弦定理.例4．已知为锐角，求证：.变式5.设,则的最大值是.提示:化为,再用均值不等式.变式6.设,则的最大值是.变式7.在一个定圆中,求所有圆内接等腰三角形中,面积最大的是哪一个?变式8.在中,证明:.提示:利用.例5.在中，角所对的边分别为,的面积为.求证:.提示:等式中,既有角,又含有边,因此应设法利用正弦定理、余弦定理等使边角统一.变式9.在中，角所对的边分别为,面积为

3、.求证:.提示:利用()().三．巩固练习1．在中，角所对的边分别为,，且边上的高，求的值.2．在Rt中，，，外接圆半径为，内切圆半径为，当为何值时，的值最小，并求出最小值.3．已知的三边和面积满足关系式,且求的最大值.4．在中，，为内切圆上的动点，求的最小值.5．已知锐角中，.（1）求证：；（2）设，求边上的高.6．已知的三边满足，（1）求证：；（2）求函数的值域第9讲三角综合问题参考答案二.例题选讲例1．解：.变式1.略解:由正弦定理有:.变式2.略解:由及,得.例2.解:由已知得:其中可得出.于是,故,即.可得,得.设角所对的

4、边分别为,其中为斜边,则.因为.所以,解得.所以.所以.变式3.略解:由已知得,又由余弦定理有.故,即.所以.由于,所以,即.所以.变式4.略解:(1)由已知,的外接圆的半径为,及正弦定理得,即.所以.因为,所以.(2).当时,.例3.解:设角所对的边分别为(均为有理数),.由余弦定理知:为有理数.同理可知为有理数.由正弦定理有,即,所以.所以为有理数.所以为有理数.例4.证明:因为为锐角，所以均为正数.所以=.变式5.略解:.变式6.答:.变式7.设等腰三角形的顶角为,两腰为,且.所以又所以.所以.当时,等号成立.变式8.略.例5

5、.证明:.同理,.所以.变式9.证明:因为()(),又所以.三．巩固练习1．答：2．答：当时，的值最小值为.3．答：.4．答：72.5．答：（1）略；（2）.6．答：（1）略；（2）.