广州二中奥数培训讲义第7讲《数列》(二)

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1、第7讲数列（二）一、知识归纳（一）递推数列的基础知识1、概念：①、递推式：一个数列{an}中的第n项an与它前面若干项an-1,an-2…an-k（k

2、见变形：①递推关系行如：的数列用累加法直接求解，得，（）然后求解。②递推关系形如：的数列用累乘法直接求解，得，（）③递推关系形如：（为常数且）的数列两边同除于，求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成为形式，利用后面的第④类方法解决；④递推关系形如：（为p，q为常数且）的数列（ⅰ）通过待定系数法化为，再利用等比数列求出的表达式，进而求出；（ⅱ）也可由得两式相减可得：，利用成等比数列求出，再利用累加法求；（ⅲ）也可利用迭代法得：，求和得；⑤递推数列形如：的数列（为常数且）（ⅰ）可化为，利用第④种类型求出后解出；（ⅱ）也可利用累加法：，，，，，，

3、由上述个等式相加可解解出；⑥递推数列形如：的数列用待定系数法，设为，就是，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为类型⑤。（三）递推数列的选讲内容（1）特征根法特征根法是专用来求线性递推式的好方法，先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。①：特征方程为，令其两根为则其通项公式为，用待定系数法求得。②：特征方程为，令其三根为则其通项公式为，用待定系数法求得。（2）不动点法当时，的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。典型例子：注：我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不

4、动点的方法，此题就很容易了。令，即，令此方程的两个根为：若，则有（构造等差数列）其中可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。若，则有其中，可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。我们上面探讨了形如的递推数列（其中函数为基本初等函数复合而成），其基本解题思路是通过构造等差或等比数列来求解。数列还可与其它章节的内容产生很多交汇点，比如数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等。此类问题，一般可先求其通项公式，利用通项公式，结合多方面的知识和各种数学方法加以解决。如与不等式结合的综合题，就利用比较法、放缩法等。若给出的数列难于求通项，可借助与

5、构造法、数学归纳法、函数与方程的知识等加以解决。二、精例剖析例1．（06江西卷）在各项均不为零的等差数列中，若，则（　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．例2．在数列中，已知，，求通项公式。例3．在数列中，，，求的通项公式和其前项和。变式1数列的前项和为，已知，写出与的递推关系式，并求关于的表达式；变式2已知各项均为正数的数列，满足：，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．例4.在数列中，，当时，有，求的通项公式。例5.在数列中，，当时，有，求的通项公式。变式3已知b≠0，b≠±1，，，写出用n和b表示的通项公式。变式4在数列中，，，，求的通项公

6、式。例6.如图，在平面上有一系列点，，对每个自然数，点位于函数的图像上，以点为圆心的⊙与轴都相切，且⊙与⊙又彼此外切.若.（1）求证：数列是等差数列；（2）设⊙的面积为，，求证：变式5如图，在轴的正半轴上依次有点其中点，且,，在射线上依次有点，点的坐标为(3,3)，且.⑴用含的式子表示；⑵用含的式子表示的坐标；⑶求四边形面积的最大值.说明：本例为数列与几何的综合题。由题意知为等比，为等差，还要学会利用作差法判断数列的单调性，从而求数列的最值。例7*设数列和满足，，且求证：是完全平方数。（2000年全国高中联赛加试题）【分析】先用代入法消去和，得，如果等式中没有常数

7、项6，就可以利用特征根方法求通项，因此可令，易求得。变式*用1，2，3三个数字写n位数，要求数中不出现紧挨着的两个1，问能构成多少个n位数？三、课后巩固1.（05湖南卷）已知数列满足，则=（）A．0B．C．D．2.（06重庆）在数列中，若，()，则该数列的通项=_________.【点评】形如（）的递推式要熟练掌握求解方法，常见的方法是配凑法和待定系数法。答案：3.（05广东）已知数列满足，，…．若，则（）（Ａ）（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５【点评】虽然新课程已经取消了极限，但这题如果改成求，则又是一道好题，对训练学生思维很有好处，大家不妨试试。答案：B4．数列，记（Ⅰ

8、）求b1、