2012届北京市西城区高三二模数学理科试题含答案

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1、北京市西城区2012年高三二模试卷数学（理科）2012.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合，，其中．若，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）2．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①；②；③；④．则输出函数的序号为（）（A）①（B）②（C）③（D）④3．椭圆是参数的离心率是（）（A）（B）（C）（D）4．已知向量，，其中．则“”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件5．右图是，两

2、组各名同学体重（单位：）数据的茎叶图．设，两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么（）（注：标准差，其中为的平均数）（A），（B），（C），（D），6．已知函数，其中实数随机选自区间．对，的概率是（）（A）（B）（C）（D）7．某大楼共有层，有人在第层上了电梯，他们分别要去第至第层，每层人．因特殊原因，电梯只允许停次，只可使人如愿到达，其余人都要步行到达所去的楼层．假设这位乘客的初始“不满意度”均为，乘客每向下步行层的“不满意度”增量为，每向上步行层的“不满意度”增量为，人的“不满意度”之和记为，则的最小值是（）（A）（B）（C）（D）8

3、．对数列，如果及，使成立，其中，则称为阶递归数列．给出下列三个结论：①若是等比数列，则为阶递归数列；②若是等差数列，则为阶递归数列；③若数列的通项公式为，则为阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．在△中，，，，则_____．10．已知复数满足，则_____．11．如图，△是⊙的内接三角形，是⊙的切线，交于点，交⊙于点．若，，，，则_____；_____．12．已知函数是上的偶函数，则实数_____；不等式的解集为_____．13．一个几何体的三视图

4、如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．14．曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线关于轴对称；②若点在曲线上，则；③若点在曲线上，则.其中，所有正确结论的序号是____________．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有，求实数的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，直角梯形与等腰直

5、角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）线段上是否存在点，使//平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．18．（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．（Ⅰ）若，求直

6、线的斜率；（Ⅱ）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值．19．（本小题满分14分）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．20．（本小题满分13分）若或，则称为和的一个位排列．对于，将排列记为；将排列记为；依此类推，直至．对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做和的相关值，记作．例如，则，．若，则称为最佳排列．（Ⅰ）写出所有的最佳排列；（Ⅱ）证明：不存在最佳排列；（Ⅲ）若某个是正整数为最佳排列，求排列中的个数．北京

7、市西城区2012年高三二模试卷数学（理科）参考答案及评分标准2012.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D；2．D；3．B；4．A；5．C；6．C；7．C；8．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．；10．；11．，；12．，13．，；14．①②③．注：11、12、13第一问2分，第二问3分；14题少填不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：．………………5分（Ⅱ）解：………………7分………………8分．………………9分因为，所以，………………10分所以当，即时，

8、取得最大值．………………11分所以，等价于．故当，时，的取值范围是．………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取中点，连结，．因为，所以