人教版初中数学竞赛专题复习第4章 方程组（含答案）

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1、第4章方程组§4．1方程组的解法4．1．1★已知关、的方程组分别求出当为何值时，方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解，解析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程的形式进行讨论，但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．由①式得，③将③代入②得．④当，即且时，方程④有唯一解，将此值代入③有，因而原方程组有唯一一组解．当，且时，即时，方程④无解，因此原方程组无解．当且时，即时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．评注对于二元一次方程组，（

2、、、、为已知数，且与，与中都至少有一个不为零）．（1）当时，方程组有唯一的解（2）当时，原方程组有无穷多组解．（3）当时，原方程组无解．4．1．2★对、的哪些值，方程组至少有一组解？解析由原方程可得．即．（1）当时，方程有唯一解，从而原方程组有唯一解．（2）当，时，方程有无穷多个解，从而原方程组也有无穷多组解．综上所述，当且为任意数，或且时，方程组至少有一组解．4．1．3★已知关于、的二元一次方程．当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解析1根据题意，可分别令，代入原方程得到一个方程组：解之得将，代入原方程得．所以对任何

3、值都是原方程的解．评注取为的是使方程中，方程无项，可直接求出值；取的道理类似．解析2可将原方程变形为．由于公共解与无关，故有解之得公共解为4．1．4★★已知，且，，求的值．解析已知代数式中含有、、三个字母，而等式只有2个，在一般情况下是不可能求出、、的具体值来的．因此，可以把已知条件中的视为常数，得到关于、的方程组，从而找出、与的关系，由此可求出其值．把已知等式视作关于、的方程，视作常数，得关于、的方程组解得因为，所以，于是．4．1．5★若、的值满足方程组求的值．解析由①+②得，即．③由③得：．④把④代入①得：．解得，把代人④得：，所以方程组解为原式．4

4、．1．6★★当取何值时，关于、的方程组有正整数解．解析解方程组得所以，是被3除余2的整数．由得．所以，，．4．1．7★为何值时，方程组（1）当，即时，原方程组有唯一解（2）当，即时，原方程组无穷多组解；（3）由于，故方程组不可能无解．4．1．8★若方程组的解满足，求的值．解析将代入原方程组，得所以，，．4．1．9★甲、乙二人同时求的整数解．甲求出一组解为而乙把中的7错看成1，求得一组解为求、的值．解析把，代入，得．把，代入，得．解方程组得4．1．10★甲、乙两人解方程组由于甲看错了方程①中的以而得到方程组的解为乙看错了方程②中的而得到的解为假如按正确的、

5、计算，求出原方程组的解．解析因为甲只看错了方程①中的，所以甲所得到的解应满足无的正确的方程②，即．②同理，应满足正确的方程①，即．④解由③、④联立的方程组得所以原方程组应为解之得4．1．11★★已知方程组无解，、是绝对值小于10的整数，求、的值．解析因为方程组无解的条件是参照这个条件问题便可解决．原方程组可化为因为方程组无解，所以有，所以，且，因为，所以，，又因为是整数，所以，，，0，1，2，3，相应地，-6，-3，0，3，6，9．所以，当时，原方程组无解．4．1．12★已知关于和的方程组有解，求的值．解析首先解方程组得到，，代入原方程组中后两个方程，得

6、到①再解上面关于和的方程组，得到，，．4．4．13★已知，，，求的值．解析根据题意有（①+②+③），得．④④①得，．④②得，．④③得，．所以．4．1．14★如果方程组的解是正整数，求整数的值．解析解方程组得因为、都是正整数，所以解得．因为是整数，所以．将代入①和②式，、的值均为正整数．故．4．1．15★★解方程组解析因为表示两个方程，即和，或者和，或者和，所以原方程组实际上是由三个方程组成的三元一次方程组，将原方程组改写为由方程②得，代入①化简得．④由③得．⑤④⑤得，所以，．将代入⑤，得．将代入②，得．所以为原方程组的解．评注本题解法中，由①、②消去时，

7、采用了代入消元法；解④、⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消去还是消去，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中的系数是一正一负，且系数的绝对值较小这一特征，采用加减消元法较简单．4．1．16★已知求的值．解析①-②消去得，即．①②消去得，即．①②消去得，即．所以，即为所求．4．1．17★解方程组解析将①+②+③，得．④由④+①得，．由④+②得，．由④+③得，．所以，原方程组的解为4．1．18★解方程组解析注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得，⑥②+③得，⑦③+④得，⑧④+⑤得．⑨又①+②+③+④+⑤得．⑩⑩一

8、⑥一⑦得，把代入⑧得，把代入⑥得，把代入⑨得，把代入⑦得．所以为原方程组的解．4