2012届浙江省高三调研理科数学测试卷及详细解析

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1、浙江省2012年高三调研理科数学测试卷详细解析选择题部分(共50分)开始p＝1，n＝1n＝n＋1P＞20?输出p结束(第3题)是否p＝p＋n2OyxABOC(第9题)xO1O2O4O5O3O6y(第10题)正视图俯视图侧视图24234(第13题)X051020P0.1αβ0.2第14题ABOEDC(第17题)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(18)(本题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan(A＋B)＝2．(Ⅰ)求si

2、nC的值；(Ⅱ)当a＝1，c＝时，求b的值．(18)本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。(Ⅰ)解：由题设得tanC＝－2，从而sinC＝．…………6分(Ⅱ)解：由正弦定理及sinC＝得sinA＝，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝＝，再由正弦定理b＝＝．…………14分(19)(本题满分14分)设等差数列{an}的首项a1为a，前n项和为Sn．(Ⅰ)若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)证明：n∈N

3、*,Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．(19)本题主要考查等差数列、等比数列的概念、等差数列的通项公式及前n项和的公式,同时考查反证法与推理论证能力。满分14分。(Ⅰ)解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na＋，S1＝a，S2＝2a＋d，S4＝4a＋6d．由于S1，S2，S4成等比数列，因此＝S1S4，即得d(2a－d)＝0．所以，d＝0或2a．(1)当d＝0时，an＝a；(2)当d＝2a时，an＝(2n－1)a．…………6分(Ⅱ)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，Sm

4、，Sm＋1，Sm＋2构成等比数列，即．因此a2＋mad＋m(m＋1)d2＝0，①(1)当d＝0时，则a＝0，此时Sm＝Sm＋1＝Sm＋2＝0，与等比数列的定义矛盾；(2)当d≠0时，要使数列{an}的首项a存在，必有①中的Δ≥0．然而Δ＝(md)2－2m(m＋1)d2＝－(2m＋m2)d2＜0，矛盾．综上所述，对任意正整数n，Sn，Sn＋1，Sn＋2都不构成等比数列．…………14分ABCPE（第20题）DGF(20)(本题满分15分)四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE

5、为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足＝＝λ∈(0，1)．(Ⅰ)求证：FG∥平面PDC；(Ⅱ)求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值为．(20)本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。方法一：(Ⅰ)证明：如图以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，其中K为BC的中点，不妨设PA＝2，则，，ABCPE（第20题）DGFzyxK，，，．由，得，，，设平面的法向量=(x，y

6、，z)，则，，得可取=(，1，2)，于是，故，又因为FG平面PDC，即//平面．…………6分(Ⅱ)解：，，设平面的法向量，则，，可取，又为平面的法向量．由，因为tan＝，cos＝，所以，解得或(舍去)，故．…………15分方法二：ABCPE（第20题）DGFQMN(Ⅰ)证明：延长交于，连，．得平行四边形，则//，所以．又，则，所以//．因为平面，平面，所以//平面．…………6分(Ⅱ)解：作FM于，作于，连．则，为二面角的平面角．，不妨设，则，，由得，即．…………15分(21)(本题满分15分)如图，椭

7、圆C:x2＋3y2＝3b2(b＞0).(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)若b＝1，A，B是椭圆C上两点，且

8、AB

9、＝，求△AOB面积的最大值.(21)本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。Oxy(第21题)AB(Ⅰ)解：由x2＋3y2＝3b2得，所以e＝＝＝＝．…………5分(Ⅱ)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABO的面积为S．如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为(，)，此时S＝＝；如果AB不垂直于x轴，设直

10、线AB的方程为y＝kx＋m，由得x2＋3(kx＋m)2＝3，即(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，又Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)＞0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝，①由

11、AB

12、＝及

13、AB

14、＝得(x1－x2)2＝，②结合①，②得m2＝(1＋3k2)－．又原点O到直线AB的距离为，所以S＝，因此S2＝＝[－]＝[－(－2)2＋１]＝－(－2)2＋≤，故S≤．当且仅当＝2，即k＝±1时上式取等