最新2012年高考理科数学第二轮综合验收评估复习题5

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1、一、选择题1．f(x)＝x(2011＋lnx)，若f′(x0)＝2012，则x0等于A．e2　　　　　　　　　　B．1C．ln2D．e解析　f′(x)＝2011＋lnx＋x×＝2012＋lnx，故由f′(x0)＝2012，得2012＋lnx0＝2012，所以lnx0＝0，解得x0＝1，故选B.答案　B2．(2011·湖南)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为A．－B.C．－D.解析　y′＝＝，∴曲线在点M处的切线的斜率为.答案　B3．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则f(－x)d

2、x的值等于A.B.C.D.解析　f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，f(－x)＝x2－x，∴f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝，故选A.答案　A4．(2011·海淀模拟)已知点P在函数f(x)＝acosx的图象上，则该函数图象在x＝处的切线方程是A．2x＋y＋＝0B．2x－y＋＝0C．2x－y－＝0D．2x＋y－＝0解析　由点P在函数f(x)的图象上，可得f＝－1，即acos＝acos＝－＝－1，解得a＝2.故f(x)＝2cosx.所以f＝2cos＝－，f

3、′(x)＝－2sinx.由导数的几何意义，可知该函数图象在x＝处的切线斜率k＝f′＝－2sin＝－.所以切线方程为y－(－)＝－，即x＋y＋－＝0，也就是2x＋y＋＝0，故选A.答案　A5．(2011·浙江模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是解析　设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由x＝－1为函数f(x)ex的

4、一个极值点，得当x＝－1时，ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1，x2，则x1x2＝＝1，D中图象一定不满足该条件．答案　D6．(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当

5、MN

6、达到最小时t的值为A．1B.C.D.解析　由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出

7、MN

8、＝y＝t2－lnt(t＞0)．y′＝2t－＝＝.当0＜t＜时，y′＜0，可知y在此区间内单调递减；当

9、t＞时，y′＞0，可知y在此区间内单调递增．故当t＝时，

10、MN

11、有最小值．答案　D二、填空题7．如图，直线y＝1与曲线y＝－x2＋2所围图形的面积是________．解析　令－x2＋2＝1，得x＝±1，答案　8．已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．解析　当x＞0时，f′(x)＝mx＋－2≥0恒成立，即m≥－＋恒成立，又∵－＋＝－2＋1≤1，∴m≥1.答案　m≥19．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为___

12、_____．解析　f′(x)＝excosx＋ex(－sinx)，设切线的倾斜角为α，则k＝tanα＝f′(0)＝1，又α∈(0，π)，∴α＝.答案　三、解答题10．(2011·江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积

13、S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解析　设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当

14、x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.11．已知函数f(x)＝x2－3x＋2lnx.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3－3x图象的下方．解析　(1)由f(x)＝x2－3x＋2lnx，知f′(x)＝x＋－3＝＝.当x∈(1,2)时，f′(x)＜0，∴f(x)在[1,2]上是减函数；当x∈(2，e)时，f′(x)＞0，∴f(x)在[2，e]上是