试题名称：中考数学热点专题质点运动型问题资料

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1、第九章质点运动型问题【考点透视】质点运动型问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中相伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察．质点运动型问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．解决质点运动型问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握动点运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或特殊关系．尽管一些试题大多属于静态的知识和方法，然而，这些试题中常常渗透着运动与变化的思想方法，需要用运动与

2、变化的观点去研究和解决．质点运动型问题有时把函数、方程、不等式联系起来．当一个问题是求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求图形之间的特殊位置关系和一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解．【典型例题】ACQP图9—1B例1．如图9—1，在△ABC中，∠B＝90°,AB＝6cm，BC＝3cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后P、Q间的距离等于4cm?（1995年山东省中考试题）分析：本题如果设t秒钟

3、后，P、Q间的距离等于4cm，那么PB、QB都能用t来表示，根据勾股定理，可以列出关于t的方程求解．解：设t秒钟后，P、Q间的距离等于4cm．则PB＝（6－t）cm，QB＝2tcm．根据勾股定理，得（6－t）2＋（2t）2＝（4）2．解这个方程，得t1＝，t2＝2．因为点Q从点B开始沿BC边移动到点C以只需要1.5秒，所以只取t＝．答：秒钟后，P、Q间的距离等于4cm．说明：本题抓住变化中图形的特殊位置关系：PQ＝4cm，直接利用勾股定理，建立方程模型解决问题．图9—2ABCQP例2．如图9—2，在△ABC中，∠C＝90°,BC＝8

4、cm，sinB＝，点P从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CA边向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，第几秒时PQ∥AB?（1997年陕西省咸阳市中考试题）分析：如图9—2，假设运动开始后t秒时，PQ∥AB根据这时图形的特殊位置，利用平行线分线段成比例定理求解．解:设P、Q分别从B、C同时出发，运动开始后t秒时，PQ∥AB．则．∵sinB＝，∴cosB＝，tgB＝．∴AC＝BC·tgB＝8·＝6．∴BP＝2t，AQ＝AC－QC＝6－t．∴．解得t＝2.4(s)．∴P、Q分别从B、C同

5、时出发，运动开始后2.4s时，PQ∥AB．说明：本题抓住变化中图形的特殊位置PQ∥AB，利用平行线分线段成比例定理求解．例3．如图9—3，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发．设S表示面积，x表示移动时间（x＞0）．（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2；（2）写出S△DPQ与x的函数关系式；图9—3ABCQDP（3）求出S△DPQ最小值和S△DPQ最大值，并说明理由．（1998年湖

6、北省襄樊市中考试题）分析：点P、Q在运动过程中，x在变，S△DPQ也在变，而S△DPQ与x之间可以根据条件列出方程或函数关系式求解．解：（1）根据题意，得·2x·（6－x）＝8．即x2－6x+8＝0．解得x1＝2，x2＝4．所以2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2．（2）S△DPQ＝S四边形ABCD－S△APD－S△PBQ－S△DCQ＝12·6－·x·12－·6·（12－2x）－·（6－x）·2x＝x2－6x+36．（3）S△DPQ＝x2－6x+36＝（x－3）2+27．∴S△DPQ的最小值是27，S△DPQ的最大值是36．∵当

7、

8、x－3

9、最小时，S△DPQ有最小值；当

10、x－3

11、最大时，S△DPQ有最大值，又∵0＜x≤6，∴当x＝3时，S△DPQ有最小值；当x＝6时，S△DPQ有最大值．说明：本题第（1）小题是利用方程模型求解，它是P、Q运动过程中，△PBQ处于特殊位置；而第（2）、(3)小题是利用函数模型求解．另外，在几何图形中求函数关系式，问题具有一定的实际意义，因此对函数关系式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需有约束条件．例4．如图9—4，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿

12、BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？A图9—4BCQP（1998年江苏省宿迁市中考试题）分析：在P、Q分别从A、B同时出发运动的过程中，可能有两种状态出现：（1）；（2）