2013-2017年高考数学(文)分类汇编详解：第8章-立体几何

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1、第八章立体几何第一节空间几何体及其表面积和体积题型88简单凸多面体的表面积与体积2013年1.（2013江苏8）如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则.2.（2013广东文18）如图4，在边长为的等边三角形中，，分别是，上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中．(1)证明：；(2)证明：；(3)当时，求三棱锥的体积．3.(2013安徽文18）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，.已知，.（1）证明：；（2）若为的中点，求三棱锥的体积.4.（2013湖北文20）如图，某地质

2、队自水平地面，，三处垂直向地下钻探，自点向下钻到处发现矿藏，再继续下钻到处后下面已无矿，从而得到在处正下方的矿层厚度为．同样可得在，处正下方的矿层厚度分别为，，且．过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为．（1）证明：中截面是梯形；第20题图（2）在中，记，边上的高为，面积为．在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算．已知，试判断与的大小关系，并加以证明．5．(2013福建文18）如图，在四棱柱中，（1）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥的正视图

3、（要求标出尺寸，并写出演算过程）；（2）若为的中点，求证：（3）求三棱锥的体积.2014年1.（2014新课标Ⅱ文7）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为（）A.B.C.D.2.（2014山东文13）一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为　　　　.3.（2014陕西文17）（本小题满分12分）四面体及其三视图如图所示，平行于棱，的平面分别交四面体的棱于点.（1）求四面体的体积；（2）求证：四边形是矩形.4.（2014福建文19）如图所示，三棱锥中，.（1）求证：平面

4、；（2）若，为中点，求三棱锥的体积.5.（2014江西文19）如图所示，三棱柱中，，.（1）求证：；（2）若，，，问为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值.2015年1.（2015新课标2文19）如图所示，长方体中，，，，点，分别在，上，.过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.1.解析（1）交线围成的正方形如图所示.（2）作，垂足为，则，，.因为为正方形，所以.于是，，.因为长方体被平面分成两个高为的直棱柱，所以其体积

5、的比值为或.评注文科对立体几何的考查主要是线面关系的推理证明，画图及简单推理，重点考查多边形，多面体的体积计算，注意在计算中能从不同角度看图的能力.2016年1.（2016全国丙文19）如图所示，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点.（1）证明平面；（2）求四面体的体积.1.解析（1）取中点，连接、，因为是中点，，且，又，且，所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又平面，平面，所以平面.(2)由(1)平面.所以.所以.2.（2016江苏17）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形

6、状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍.（1）若，，则仓库的容积是多少；（2）正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？2.解析（1），则，，，，故仓库的容积为.（2）设，仓库的容积为，则，，，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减.故当时，取到最大值，即时，仓库的容积最大.3.（2016全国乙文18）如图所示，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点.联结并延长交于点.（1）求证：是的中点；（2）在题图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面

7、体的体积.3.解析（1）由题意可得为正三角形，故.因为在平面内的正投影为点，故平面.又平面，所以.因为在平面内的正投影为点，故平面.又平面，所以.因为，，，平面，所以平面.又平面，所以.因为，所以是的中点.（2）过作交于，则即为所要寻找的正投影.理由如下，因为，，故.同理，又，平面，所以平面，故即为点在平面内的正投影.所以.在中，，，，故由等面积法知.由勾股定理知，由为等腰直角三角形知，故.4.（2016全国甲文19）如图所示，菱形的对角线与交于点，点，分别在，上，，交于点.将沿折到的位置.（1）证明：；（2）若，求五棱锥的体

8、积.4.解析（1）证明：因为四边形为菱形，所以，所以，所以，所以.又因为，所以，所以.所以.（2）由得，由得所以于是故由（1）知，又，所以平面，于是又由，所以平面.又由得，五边形的面积.2017年1.（2017全国1文18）如图所示，在四棱锥中，，且.(1)证明：平面平面；(