2013-2017年高考数学(文)分类汇编详解：第3章-导数

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1、第三章导数第1节导数的概念与运算题型33导数的定义——暂无题型34求函数的导数1.（2015天津文11）已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为．1.解析因为，所以.2.（2015陕西文21(1)）设求.2.解析由题设，所以，所以，由错位相减法求得：，所以.3.（2016天津文10）已知函数为的导函数，则的值为__________.3.3解析因为，所以.4.（2017浙江20）已知函数.（1）求的导函数；（2）求在区间上的取值范围.4.解析（1）因为，，所以.（2）由，解得或.当变化时，，的变化情况如下表所示.100↘0↗↘又，，所以在区间上的取值范围是.

2、题型35导数的几何意义1.（2013江西文11）若曲线（）在点处的切线经过坐标原点，则.1.解析因为，所以在点处的切线斜率，则切线方程为.又切线过原点，故，解得.2.(2013广东文12）若曲线在点处的切线平行于轴，则．2.分析计算出函数在点处的导数，利用导数的几何意义求的值.解析因为，所以.因为曲线在点处的切线平行于轴，故其斜率为，故.3.(2013天津文20）设，已知函数（1）证明在区间内单调递减，在区间内单调递增；（2）设曲线在点处的切线相互平行，且证明：.3.分析（1）利用导数和二次函数的性质证明；（2）利用（1）的结论、直线平行的条件用参数表示出用换元

3、法证明结论.解析证明：（1）设函数①由于从而当时，，所以函数在区间内单调递减.②由于所以当时，；当时，.即函数在区间内单调递减，在区间内单调递增.综合①②及可知函数在区间内单调递减，在区间内单调递增.（2）由（1）知在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增.因为曲线在点处的切线相互平行，从而互不相等，且不妨设由可得解得从而设则由解得所以设则因为所以故即4.(2013陕西文21）已知函数.（1）求的反函数的图象上点处的切线方程；（2）证明：曲线与曲线有唯一公共点；（3）设，比较与的大小，并说明理由.4.分析确定反函数，利用导数的几何意义求解；将两曲线的

4、公共点个数问题转化为函数零点个数问题来解决；利用作差法比较大小．解析（1）解：的反函数为，设所求切线的斜率为．因为，所以，于是在点处的切线方程为.（2）证法一：曲线与曲线公共点的个数等于函数零点的个数．因为，所以存在零点.又，令,则.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增，所以在处有唯一的极小值，即在上的最小值为.，所以在上是单调递增的，所以在上有唯一的零点，故曲线与曲线有唯—的公共点．证法二：因为，，所以曲线与曲线公共点的个数等于曲线与公共点的个数．设，则，即当时，两曲线有公共点．又，所以在上是单调递减，所以与有唯一的公共点，故曲线与曲线有唯—的公

5、共点．（3）解：.设函数，则，所以，所以单调递增．当时，．令，则得．又，所以5.(2013福建文22）已知函数（为自然对数的底数）.（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（2）求函数的极值；（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.5.分析（1）利用导数求切线斜率；（2）讨论字母的取值；（3）先构造函数再结合函数的零点存在性定理求解.解析解法一：（1）由，得.又曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得.（2）.①当时，，为上的增函数，所以函数无极值.②当时，，得.，；，，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.综上，当时，

6、函数无极值；（3）当时，.令，则直线与曲线没有公共点，等价方程在上没有实数解.假设，此时，.又函数的图象连续不断，由零点存在性定理，可知在上至少有一个解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故.又时，，知方程在上没有实数解.所以的最大值为.解法二“（1）（2）同解法一.（3）当时，.直线与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：（*）在上没有实数解.①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解.②当时，方程（*）化为.令，则有.令，得，当变化时，，的变化情况如下表：当时，，同时当趋于时，趋于，从而的取值范围为.所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值

7、范围是.综合①②，得的最大值为.6.（2014陕西文10）如图所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖湾曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（）.A.B.C.D.7.（2014新课标Ⅰ文12）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.（2014广东文11）曲线在点处的切线方程为________.9.（2014江苏11）在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则的值是．10.（2014江西文11）若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是.11.（2014

8、安徽文15）若直线与曲线