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《2012年山东师大附中高三数学数列的极限教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、13.2数列的极限●知识梳理1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即
2、an－a
3、无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限.注：a不一定是｛an｝中的项.2.几个常用的极限：①C=C（C为常数）;②=0;③qn=0（
4、q
5、＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝，当an=a,bn=b时，（an±bn）=a±b;（an·bn）=a·b;=（b≠0）.特别提示（1）an、bn的极限都存在时才能用四则运算法则；（2）可推广到有限多个.●点击双基1.下列极限正确的个数是①=0（α＞0
6、）②qn=0③=－1④C=C（C为常数）A.2B.3C.4D.都不正确解析:①③④正确.答案:B2.［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］等于A.0B.1C.2D.3解析:［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］=［n××××…×］==2.答案:C3.下列四个命题中正确的是A.若an2＝A2，则an＝AB.若an＞0，an＝A，则A＞0C.若an＝A，则an2＝A2D.若（an－b）＝0，则an＝bn解析:排除法，取an＝（－１）n，排除A；取an＝，排除Ｂ；取an＝bn＝n，排除D．答案:C4.=__________.解析:原式===0.答案:05.=___
7、_________.解析:原式==.答案:思考讨论求数列极限时，如是不定型（,,∞－∞等），应先变形，再求极限，一般应如何变形？●典例剖析【例1】求下列极限：（1）;（2）（－n）;（3）（++…+）.剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）==.（2）（－n）===.（3）原式===（1+）=1.评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式===1,②∵（2n2+n+7）,（5n
8、2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：①（－n）=－n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误.【例2】已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．（1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn；（2）求的值．解:（1）由已知得an＝ｃ·an－1,∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3·ｃn－1.∴Sn＝（2）＝.①当c=2时，原式＝－;②当ｃ＞2时，原式＝＝－;③当0＜ｃ＜2时，原式=＝
9、.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例3】已知直线l:x－ny=0（n∈N*）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线:y=（x－1）2,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求.剖析:要求的值，必须先求它与n的关系.解:设圆心M（－1,－1）到直线l的距离为d,则d2=.又r=1,∴
10、AB
11、2=4（1－d2）=.设点C（x1,y1）,D（x2,y2），由nx2－（2n+1）x+n=0,∴x1+x2=,x1·x2=1.∵（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=,（y1－y2）2=（－）2=,∴
12、CD
13、2=（x1－x2）2+（y1－y2
14、）2=（4n+1）（n2+1）.∴===2.评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜
15、c
16、＜1,当（b1+b2+…+bn）≤3,求c的取值范围.解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立.∴===c.又a1·a2=a2=c.∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an
17、+an+1=bn恒成立.∴==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,∴（b1+b2+b3+…+bn）=（b1+b3+b5+…）+（b2+b4+…）=+≤3.解得c≤或c＞1.∵0＜
18、c
19、＜1,∴0＜c≤或－1＜c＜0.故c的取值范围是（－1,0）∪（0,］.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以
20、根与系数的关系为突破口.
