2012年山东师大附中高三数学数列的应用教案

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1、3.5数列的应用●知识梳理1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决.2.理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同.3.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差（或公比），其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题.●点击双基1.已知{an}是递增的数列，且对于任意n∈N*，都有an=n2+λn成立，则实数λ的取值范围是A.λ＞0B.λ＜0C.λ=0D.λ＞－3解析：由题意知an＜an+1恒成立，即2n+1+λ＞0恒成立，得λ＞－3.答案：D2.设a1，a2，…，a50是从－1，

2、0，1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+…+a50=9，且（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2=107，则a1，a2，…，a50中有0的个数为A.10B.11C.12D.13解析：将已知的等式展开整理得a12+a22+a32+…+a502=39，故此50个数中有11个数为0.答案：B3.如下图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是_______________.解析：设第n行的第2个数为an，不难得出规律，则an+1=an+n，累加得an=a1+1+2+3+…+（n－1）=.答案：4.已

3、知an=logn+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算a1·a2=log23·log34=·=2，a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log67·log78=··…··=3.……定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的k（k∈N*）叫做企盼数.试确定当a1·a2·a3·…·ak=2008时，企盼数k=______________.解析：由a1·a2·…·ak=···…·==log2（k+2）=2008，解之得k=22008－2.答案：22008－2●典例剖析【例1】某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除2

4、0万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题.解:（1）2005年底的住房面积为1200（1+5%）－20=1240（万平方米），2006年底的住房面积为1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（万平方米），∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米.（2）2024年底的住房面积为1200（1+5%）20－20（1+5%）

5、19－20（1+5%）18－…－20（1+5%）－20=1200（1+5%）20－20×≈2522.64（万平方米），∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案.【例2】由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000t，第二天运送1100t，以后每天都比前一天多运送100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100t，连续运送15天，总共运送21300t，求在第几天达到运送食品的最大量.剖析：本题实质上

6、是一个等差数列的求通项和求和的问题.解：设在第n天达到运送食品的最大量.则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.an=1000+（n－1）·100=100n+900.其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列.依题意，得1000n+×100+（100n+800）（15－n）+×（－100）=21300（1≤n≤15）.整理化简得n2－31n+198=0.解得n=9或22（不合题意，舍去）.答：在第9天达到运送食品的最大量.评述：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题.【例3】2002年底某县的绿化面积占全县总面

7、积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a1=，经过n年后绿化的面积为an+1，试用an表示an+1；（2）求数列{an}的第n+1项an+1；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771）剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.解：（1）设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn+1.于是a1+b1=1，an+bn=1.依题意，an+1是由两部分组成