2012年山东师大附中高三数学双曲线教案

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1、8.2双曲线●知识梳理定义1.到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜

2、F1F2

3、）的点的轨迹2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（＞1）的点的轨迹方程1.－=1，c=，焦点是F1（－c，0），F2（c，0）2.－=1，c=，焦点是F1（0，－c）、F2（0，c）性质H：－=1（a＞0，b＞0）1.范围：

4、x

5、≥a，y∈R2.对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）4.渐近线：y=x，y=－x5.离心率：e=∈（1，+∞）6.准线：l1：x=－，l2：x=7.

6、焦半径：P（x，y）∈H，P在右支上，r1=

7、PF1

8、=ex+a，r2=

9、PF2

10、=ex－a；P在左支上，r1=

11、PF1

12、=－（ex+a），r2=

13、PF2

14、=－（ex－a）思考讨论对于焦点在y轴上的双曲线－=1（a＞0，b＞0），其性质如何？焦半径公式如何推导？●点击双基1.双曲线－=1的渐近线方程是A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x解析：由双曲线方程可得焦点在x轴上，a=2，b=3.∴渐近线方程为y=±x=±x.答案：A2.过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是A.－=1B.－=1C.－=

15、1D.－=1解析：可设所求双曲线方程为－y2=λ，把（2，－2）点坐标代入方程得λ=－2.答案：A3.如果双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离是A.10B.C.2D.解析：利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8×=.答案：D4.已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为（4，±）.易求它到中心的距离为.答案：5.求与圆A

16、：（x+5）2+y2=49和圆B：（x－5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________.解析：利用双曲线的定义.答案：－=1（x＞0）●典例剖析【例1】根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.剖析：设双曲线方程为－=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为－=1，由题意，得=，－=1，解得a2=，b2=4.所以双曲线的方程为

17、－=1.（2）设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），∴－=1.又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为－=1.解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），将点（－3，2）代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝.（2）设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0，可设双曲线方程为a2x2－b

18、2y2=λ（λ≠0）.【例2】（2002年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.剖析：由

19、PM

20、－

21、PN

22、=2m，得

23、

24、PM

25、－

26、PN

27、

28、=2

29、m

30、.知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围.解：设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，即y=±2x（x≠0）.①因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得

31、

32、PM

33、－

34、PN

35、

36、<

37、MN

38、=2.∵

39、

40、PM

41、－

42、PN

43、

44、

45、=2

46、m

47、>0，∴0<

48、m

49、<1.因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2

50、m

51、的双曲线上.故－=1.②将①代入②，并解得x2=，∵1－m2>0，∴1－5m2>0.解得0<

52、m

53、<，即m的取值范围为（－，0）∪（0，）.评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.【例3】如下图，在双曲线－=1的上支上有三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它们与点F（0，5）的距离成等差数列.（1）求y1+y3的值；（2）证明：线段AC的垂

54、直平分线经过某一定点，并求此点坐标.剖析：可以验证F为焦点，利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列，进而有三点纵坐标成等差数列，由此易得y1+y3的值.为求出AC的中垂线所过定点，不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A′与C′.由双曲线的对称性，易知A′与C