2012年山东师大附中高三数学三角函数的应用教案

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1、4.10三角函数的应用●知识梳理1.三角函数的性质和图象变换.2.三角函数的恒等变形.三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学思想方法的考查.3.三角函数与其他数学知识的联系.特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系.●点击双基1.已知sinx+cosx=，0≤x≤π，则tanx等于A.－或－B.－C.－D.或解析：原式两边平方得2sinxcosx=－－2sinxcosx=1－2sinxcosx=sinx－cosx=，可得sinx=，cosx=－.∴tanx=－.答案：B2.若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－si

2、nA，sinB－cosA）在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵△ABC为锐角三角形，∴A+B＞.∴A＞－B，B＞－A.∴sinA＞cosB，sinB＞cosA.∴P在第二象限.答案：B3.设0＜

3、α

4、＜，则下列不等式中一定成立的是A.sin2α＞sinαB.cos2α＜cosαC.tan2α＞tanαD.cot2α＜cotα解析：由0＜

5、α

6、＜，知0＜2

7、α

8、＜且2

9、α

10、＞

11、α

12、，∴cos2

13、α

14、＜cos

15、α

16、.∴cos2α＜cosα.答案：B4.若x=是方程2cos（x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），则α=__

17、_______.解析：∵x=是方程2cos（x+α）=1的解，∴2cos（+α）=1，即cos（+α）=.又α∈（0，2π），∴+α∈（，）.∴+α=.∴α=.答案：5.函数y=sinx·（sinx+cosx）（x∈R）的最大值是____________.解析：原式=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin2x－cos2x+=sin（2x－）+，其最大值为1+=.答案：●典例剖析【例1】化简cos（π+α）+cos（π－α）（k∈Z）.剖析：原式=cos（kπ++α）+cos（kπ－－α）=cos［kπ+（+α）］+cos［kπ－

18、（+α）］.解：原式=cos［kπ+（+α）］+cos［kπ－（+α）］=2coskπcos（+α）=2（－1）k（coscosα－sinsinα）=（－1）k（cosα－sinα），k∈Z.【例2】已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值.解：由已知得所以sinαcosβ=，cosαsinβ=.从而==.思考讨论由①②不解sinαcosβ、cosαsinβ，能求吗?提示：①÷②，弦化切即可，读者不妨一试.【例3】求函数y=，x∈（0，）的值域.剖析：将原函数中三角函数都化成单角的正弦函数，再换元将其转化为一元函数求解.解：y==

19、.设t=sinx，则由x∈（0，）t∈（0，1）.对于y===－1+－，令=m，m∈（，1），则y=－2m2+3m－1=－2（m－）2+.当m=∈（，1）时，ymax=，当m=或m=1时，y=0.∴0＜y≤，即y∈（0，］.评述：本题的解法较多，但此方法主要体现了换元转化的思想，在换元时要注意变量的范围.●闯关训练夯实基础1.若角α满足条件sin2α＜0，cosα－sinα＜0，则α在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限.∴α在第二、四象限.又∵cosα－sinα＜0，∴α在第二象限.

20、答案：B2.在△ABC中，若2cosB·sinA=sinC，则△ABC的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：∵2cosB·sinA=sinC=sin（A+B）sin（A－B）=0，又A、B、C为三角形的内角，∴A=B.答案：C3.在斜△ABC中，sinA=－cosBcosC且tanBtanC=1－，则∠A的值为A.B.C.D.解析：由A=π－（B+C），sinA=－cosBcosC得sin（B+C）=－cosBcosC，即sinBcosC+cosBsinC=－cosBcosC.∴tanB+tanC=－

21、1.又tan（B+C）====－，∴－tanA=－，tanA=.又∵0＜A＜π，∴A=.答案：A4.函数y=sinx－cosx的图象可由y=sinx+cosx的图象向右平移_______个单位得到.解析：由y1=sinx+cosx=sin（x+），得x1=－（周期起点）.由y2=sinx－cosx=sin（x－），得x2=（周期起点）.答案：5.函数y=sin（－）的单调递减区间及单调递增区间分别是__________.解析：y=sin（－）=－sin（－）.故由2kπ－≤－≤2kπ+3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；由2kπ

22、+≤－≤2kπ+3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间.答案：［3kπ－，3kπ+］（k∈Z）；［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）6.已知0≤x≤，则函数y=4sinxco