【北师大版】数学必修2精品讲学案：2.1-直线与直线的方程

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1、第1课时　直线的倾斜角和斜率[核心必知]1．直线的倾斜角(1)倾斜角的概念．在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．(2)倾斜角的取值范围．直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.当直线l和x轴平行时，倾斜角为0°.2．斜率的概念及斜率公式定义把一条直线的倾斜角不等于90°的角α的正切值叫做这条直线的斜率，通常用k表示，即k＝tanα取值范围当α＝0°时，k＝0当0°＜α＜90°时，k＞0当90°＜α＜180

2、°时，k<0当α＝90°时，斜率不存在续表过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝[问题思考]1．由直线倾斜角的大小能确定直线的位置吗？提示：只由直线的倾斜角不能确定直线的位置，因为倾斜角只反映了直线相对x轴的倾斜程度．2．“斜率是倾斜角的正切值”这句话对吗？提示：不对.90°角的正切值是不存在的．3．直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？提示：这句话是不对的，当倾斜角α＝0°时，k＝0；当0°＜α＜90°时，k＞0，并且随α的增大

3、k也增大；当α＝90°时，k不存在；当90°＜α＜180°时，k＜0，并且随α的增大k也增大．讲一讲1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　　)A．α　　　　　　　　　B．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α[尝试解答]　选D　如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.若把条件改为“直线向上的方向与x轴的负方向所成的角为α”其他不变，结论将

4、如何？　　　　选B　通过画图可知．当α为锐角时，l的倾斜角为180°－α.当α为钝角时，l的倾斜角为180°－α.当α为90°角时，l的倾斜角为90°.　　　　求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况讨论，讨论的常见情形有：①0°角；②锐角；③90°角；④钝角．练一练1．设直线l1与x轴的交点为P，且倾斜角为α，若将其绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线l2的倾斜角为α＋45°，试求α的取值范围．解：由于直线l1与x轴相交，可知α≠0°，又α与α＋45

5、°都是直线的倾斜角，∴0°＜α＜180°且0°≤α＋45°＜180°，解得0°＜α＜135°.讲一讲2．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．[尝试解答]　(1)由斜率公式得kAB＝＝0，kBC＝＝.kAC＝＝.在区间[0，π)范围内．∵tan0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.tan60°＝，∴BC的倾斜角为60°.tan30°＝，∴AC的倾斜角为30°.(2)如图，当斜

6、率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.1．在应用斜率公式求斜率时，要注意两点的横坐标是否相等，若相等，则斜率不存在，倾斜角是90°；若不相等，才能用斜率公式求斜率．2．数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点．当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由零逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到y轴平行(或重合)时，斜率由零逐渐

7、减小至－∞(斜率不存在)．这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．练一练2．已知直线l经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R)．(1)求直线l的斜率；(2)若直线l的倾斜角α为45°，求m的值．解：(1)当m＝2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直x轴，故直线l的斜率不存在．当m≠2时，直线l的斜率k＝＝.(2)∵α＝45°，∴k＝tanα＝1.∴＝1，即m－2＝1，∴m＝3.讲一讲3．已知三点A(1，－1)，B(3,3)，C(4,5)．求证：三点在同一条直线

8、上．[尝试解答]　证明：∵kAB＝＝2，kBC＝＝2，∴kAB＝kBC.又直线AB和BC有公共点B，∴A，B，C三点共线．任意两点连线斜率相等，三点一定共线，反之三点共线任意两点连线的斜率不一定相等(可能都不存在)．解这类问题时要先对斜率是否存在作出判断，必要时要先进行讨论，然后再下结论．练一练3．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．解：∵A，B，C三点共线，且3≠－2，∴BC