轴对称变换的实际应用教案

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1、《轴对称变换的实际应用》教材：人教版《义务教育课程标准实验教材》八年级上册第14.2.1第2节．教学目标1．进一步理解轴对称变换，并能用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题.2．体会轴对称变换在解决问题中的转化作用，学习将实际问题转化为数学问题的方法，发展应用数学的意识.3．体验探究的快乐、激发学习数学的兴趣.教学重点轴对称变换的应用.教学难点如何通过轴对称变换进行转化.教学方式自主探究与启发引导相结合.教学手段多媒体辅助教学.教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图（一）复习引入上节课我们学习了轴对称变换作图，给大家布置了利用轴对称变换设计图案的作业，让我们先来欣赏同学们

2、用轴对称变换设计的美丽图案！这些美丽的图案你又是怎样画的呢？学生利用实物投影展示作业，教师对学生给予肯定和鼓励.通过展示学生有创意的作品，复习轴对称作图和轴对称性质，为本节课的内容作铺垫.（二）问题探究1．提出问题播放CCTV关于“西气东输”的新闻报道.问题1如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?2.引导探究探究中学生可能遇到如下问题：①实际问题数学化；②对“线段和最小”的理解；③如何想到用轴对称变换求解问题.学生阅读思考、尝试独立求解.教师巡视，观察学生解决问题的过程与方法，并适时引导.选用“西气东输”作为背景

3、，引导学生关注国家大事.学生已有一些解决实际问题的经验，放手让学生做，培养他们的探究意识和能力.（二）问题探究（1）实际问题数学化如图，已知点A、B在直线l的同侧.在l上找点P，使PA+PB最小.（2）对“线段和最小”的理解在直线l上任取两点P1、P2，通过度量，比较AP1+BP1与AP2+BP2的大小.（3）对画图找点的引导辅助问题：如图，已知点A、B在直线l的异侧，在l上找点P，使PA+PB最小.解略.（4）求解问题1解：作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1，AB1与直线l交于P，点P即为所求.理由：如图，由轴对称性质BP=B1P，所以AP+BP=AP+B1P，当A、

4、P、B1三点共线时AB1最短，所以P点为所求.3．数学思考（1）推理证明的落实如果P1是异于点P的一点，你能证明AP1+BP1>AP+BP吗？多数学生能将管道画成直线，城镇画成点，教师给予肯定的同时，引导学生结合图形用符号语言表述问题.教师引导对“线段和最小”理解不透的学生选点画图，度量比较发现其值不等之后，再利用几何画板进行动态演示.对于如何找点没有思路的学生，教师给出辅助问题，解决后再思考问题1的解法.学生陈述解法并说明理由，同时教师强调也可以通过作点A关于直线对称点来求解.教师再利用几何画板对点P进行验证.学生思考，讨论交流.使学生明确将实际问题数学化是解决实际问题的第

5、一步，同时注意规范表述.使学生透彻理解“线段和最小”的含义.设置辅助问题为问题1的解决作铺垫.（二）问题探究证明：连接B1P1.由轴对称性质，BP1=B1P1，BP=B1P.所以AP1+BP1=AP1+B1P1，AP+BP=AP+B1P=AB1，在△AP1B1中，AP1+B1P1>AB1，即AP1+BP1>AP+BP.（2）对解法的反思轴对称变换在解决问题中所起的作用是什么呢？“实现了线段长度的等量转化，将直线同侧两定点问题转化为直线异侧两定点问题.”教师引导学生利用轴对称变换性质和三角形三边关系完成证明.学生思考后作答，教师再归纳提升.帮助学生体会轴对称变换在解决问题中的转

6、化作用.（三）拓展应用问题2如图，公园内两条小河汇合，两河形成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上各修建一座小桥，并在半岛上修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，使所修建的道路最短？1.实际问题数学化如图，P为∠MON内一定点，分别在OM与ON上找点A、B，使△ABP的周长最小.2.问题求解解：作点P关于OM、ON的对称点P1、P2，连接P1P2，P1P2与OM、ON分别交于A、B，点A、B即为所求.学生读题，尝试独立求解.教师巡视指导.学生在画图找点过程中遇到困难时，教师引导学生分析问题、理解由轴对称性质可将三角形周长转化为P1A1+A1B1+P2B1，

7、从而使问题求解.问题2一方面作为问题1解题方法的巩固,同时又为问题3的解决作铺垫.（三）拓展应用3.对解法的反思在解决问题过程中，轴对称变换起到了什么作用？“利用轴对称变换实现了线段长度的等量转化.”问题3如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐篷，请你帮他确定这一天所走的最短路线.1.实际问题数学化如图，已知∠MON内有两定点A、B，分别在OM和ON上各点C、D，使AC+CD+BD最小.2.问题的求解解：作点A关于OM的对称点A1，作点B关