2013 项目说明 孤立波演示

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1、附件北京交通大学第五届大学生物理实验竞赛项目说明参赛题目题目一：机械摆单摆链上的孤立波演示参赛学院理学院组队负责人孙传昊组队成员孙传昊、徐子轩北京交通大学教务处制2013年5月参赛题目题目一：机械摆题目序号1排序姓名学号学院专业手机1（负责人）孙传昊12274078理学院思源班188114441342徐子轩11223082电子信息与工程学院电子科学与技术13811102436（以下内容可加页，控制在3-5页）老师好，以下是对实验的改进，由于设备问题，截图暂时无法提供，不过装置都已经做好了。首先理论还是按照原来的

2、推导，没有变化。实验过程进行了改进：1.实验分为两个装置，一个用来演示宏观现象，一个进行微观解释。2.宏观演示装置利用乳胶管、回形针、钢架等制成，长度约为6.5m，最大挠度小于15cm，基本可以认为是水平直线。其中被拉伸的乳胶管充当扭簧，共650根轻杆，相当于650个耦合摆，间距为1cm。由于实验室的大小限制，只能做这么长了。3.微观现象的演示，主要利用原装置。首先由双轴承换为单轴承，并利用整根乳胶管进行耦合，减少了阻尼，提高了传输距离（两个来回，共计六米，可以满足实验需要）。4.在耦合摆的两侧装配了对射型红外

3、传感器，并外连单片机，测量结果也比原来要准确，不需人为计数。5.对装置外观进行了改变，使用了更牢固的支架，在满足易拆卸的前提之下，增强了装置强度。宏观演示的装置在不人为干预的情况下可传输近100米，但是体积过于庞大，怕是只能用视频展示实验现象了。设计原理与方法：前言本实验研究的对象属于耦合单摆链，主要涉及的方面为一类非线性方程的求解问题。本实验的基本现象是：相邻单摆末端用弹性系数相同的橡皮筋相互牵引，拨动处于端点或中央的摆，使单摆链上形成一个稳定、匀速的波。通过对其运动性质的深入探究与解释，并用matlab进行

4、了数值模拟，使用红外传感器等进行了精确测量，结合实验结论，验证了理论推导的正确性，进而研究、展示了sine-gordon方程的一些性质。最终，我们还给出了当波速为多少时，每个单摆都正好能转过一周。此外、本实验不仅定性定量的完成了对其运动性质的探究，同时可以很形象的演示出孤子的主要性质，是研究孤子现象的实用方法.本实验已参加第四届中国大学生物理学术竞赛，这里要感谢辅导老师在竞赛期间的大力支持和耐心辅导，以及队友们的热心帮助。没有大家的共同努力，这项研究定不会像今天这般出色，所以在这里我必须向诸位表示衷心的感谢，谢

5、谢大家提供的宝贵意见。接下来将就理论推导，实验设计切入，描述我们的主要工作。理论推导参数定义：E：一个摆所具有的能量。m：摆重。l：摆长。g：重力加速度。?：摆动角度。C：相对相对介质波波速。N：摆的数量。F=mglK：扭簧的扭转常量（胡克系数）。t：时间。J：转动惯量。??：摆间距。X：一维座标位置。V:波速。W：角速度。1.用橡皮筋连接的情况，我们先考虑用一串由扭簧耦合的单摆链来近似，我们假设在整个过程中橡皮筋都是绷紧的，以使扭簧这一假设成立。模型假设：•橡皮筋发生弹性形形变•运动中不存在阻尼•每个单摆的摆

6、长等参数全部相同。•我们仅考虑摆前后扭簧对其的力矩，并进行简单的受力分析。•由单摆的运动性质及受力分析可得：•进一步的推出：•E=mgl(1-cosθ)+12m(θl)2•dEdt=mglsinθ+mθl=0•Jθtt=k(θi-1-2θi+θi+1)-mglsinθi•若把相邻两摆之间的距离记作Δx，在上式两边同乘以1Δx2，则方程就变为：•1Δx2θi-1-2θi+θi+1-JΔxkΔx.∂2θ∂t2=FΔxkΔxsinθ。当N→∞，Δx→0时我们可以近似认为介质是连续的。在连续系统的极限情况下，上式左边第

7、一项取连续近似，就可近似表示为∂2θ∂t2，这样，按kmgl12Δx和Jmgl12的比例，分别取新的位置和时间坐标（x和t），就可以得到SG方程，这里sinθ给出非线性作用。•导出的方程为：•Jθtt=kd2θxx-mglsinθ写成一般形式有•θtt-kd2θxxJ+mglsinθJ=0（这便是SG方程的一般形式）•由SG方程的一般形式：•φtt-c02φxx+f02sinφ=0•推出：ω2=f02c2-c02=mglJv2-kd2J=mglv2l2m-kd2至此我们推得孤子摆转速，波速及自身参量的定量关系。

8、但是实际上，橡皮筋也可以存在无法拉紧的情况，对此，我们假设连接相邻摆末端的为等长的一些轻绳。理论推导如下：•d2+2R2-2R2cosθ=l2•设ad=Ra>1•bd=lb>1•1+2a2-2a2cosθ=b2•θ=cos-1[1-b2-12a2]•一个波上摆的个数：2π/θ•又有：•T~d~v•T~θ~w•故d/θ=v/w•推出w(rad/s)=v(m/s)cos-1[1-b2-12