[练习]第五章孤立波

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1、第五章孤立波第一节历史回顾1.一个奇特的水波和传约170年以前，1834年的一天，在从爱丁堡到格拉斯哥的运河上，一位苏格兰海军工程师罗素(J.ScottRussell)观察到一种奇特的水波。在1844年发表的一份报告中，他描述了当年观察到的这种奇特水波，并称这种波为孤立波(Solitarywave)o他是这样描述的「'我看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进。当船突然停止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下來。它激烈地在船头翻动起來，随即突然离开船头，并以巨大的速度向前推进。一个轮丿郭清晰乂光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河一直向前推进，在行进过程中其形状与速度没有

2、明显变化。我骑马跟踪注视，发现它保持着起始时约30英尺(1英尺=25.4厘米)长，1・1.5英尺高的浪头，约以每小时英里的速度前进。后來它的高度逐渐减低，经过约一英里(1英里=1.609千米)的追逐后，在运河的拐弯处消失了”。为了探究上述的水波鼓包到底是一种什么样的现象，随后，罗素在水槽的一端用一重锤垂落入水中，对重锤激起的水浪的运动情况进行了反复的观察，如图5・1所示。他发现这种水浪与运河中出现的奇特水波是木和同。通过实验，他还总结出水波的移动速度八水的深度d及水波幅度AZ间的关系：v2=W+A)〃为一某比例常数。这实验结果说明，水波的运动速度与波幅的高度有关，波幅高的

3、速度较快，且波幅的宽度对高度Z比也相对较窄。然而罗索当年未能从流休力学出发给孤立波以合理的理论解释，因此没有引起人们的充分重视。直到半个世纪以后，即1895年，两位荷兰科学家科特维格(Kortweg)与徳弗雷斯(deVries)才对浅水槽屮单向运动的奇特波动现象用一波动方程进行理论分析，得到了比较满意的解释。他们认为，这种现象是波动过程屮非线性效应与色散现象互相平衡的结果。他们建立了以他们姓名的首写字母命名的方程，即KdV方程。KdV方程的形式如下：diSu_—+u—+—=0式小，《为相对于静止水面的高度，即波幅。KdV方程是一个非线性的偏微分方程，求解很难。为了求解Kd

4、V方程的孤立波解，可以只找与歹二兀-％相关的行波解，这里y为波速，于是偏微分方程化为§的一个常微分方程，得解：2u(x,t)=3v-sech——(x-vr)vsech⑴是具有钟形的双曲正割函数，其图象与观察到的孤立波形状相同。但是此后孤立波现象的研究与KdV方程又被默默地遗忘了几十年。掀起这—邻域研究热潮的应归功于乌莱姆(S.Ulam)。1955年，在乌莱姆领导的美国阿尔莫斯国家实验室，著名物理学家费米(E.Fermi)、帕斯塔(J.Pasta)和乌莱姆数值计算了用非线性弹簧联结的64个质点组成的弦的振动，目的是从数值实验上验证统计力学中的能量均分定理。他们对少数质点进行

5、激发，按照能量均分原理，由于弱的非线性相互作用，经长吋间以后，初始的激发能量应冇涨落地均衡的分布到每个质点。然而计算结果令人意外，长时间以后能量几乎全部回到了初始集中在少数质点上的状态。这个结果预示着这个非线性系统可以出现孤立波。这就是著名的FPU问题。1965年，美国数学家采布斯基(Zabusky)与克鲁思卡尔(Kruskal),把FPU的非线性振子系统的能量不均分问题与KdV方程联系了起來。此后人们发现，在许多物理体系中都存在KdV方程，说明孤立波是一种普遍存在的物理现象。于是KdV方程被看作为数学物理的一个基本方程。此后人们又进一步发现，除KdV方程外，其它的-•些

6、偏微分方程也冇孤立波解，从此一个广大的孤立波研究领域展开來了。由此可见，孤立波是既是一种特殊的，又是不难见到的波动现象，它被称为自然界里的相干结构(coherentstructure,或称拟序结构)，即一种冇序结构。从美丽的木星上的巨型红斑到固体中的屯荷密度波都属于这样的冇序结构。从运动形态上讲，相干结构与混沌运动既是相互对立的，但又是具冇内在联系的两种非线性现象。混沌运动所呈现的是非线性中奇妙的无序状态，相干结构则反映了非线性系统中的惊人有序性。从尺度上讲，相干结构口J以小到原于尺寸，大到天文范围。木星上巨型红斑的尺寸大达4X10*米，相当于地球与月亮之间的距离，图5-

7、2就是上世纪70年代由旅行者1号拍摄到的一幅木星上的巨型红斑照片。七十年代，从“阿波罗一联盟号”宇宙飞船上拍摄到的出现在泰国安达曼海面上的孤立波照片，照片上显示出五条几乎平行的直线表面波的波包，每一条大约150公里宽，两个波包相互间大约相距10公里；罗索所观察到的水面上孤立水波的尺寸在1米量级，而在二硫化铠晶体屮所呈现的电荷密度孤立波，其尺度仅约10一9米。图5-2木星上的巨型红斑照片2.孤立波与孤立子遵循着FPU问题的思路，采布斯基与克鲁思卡尔还采用数值模拟的方法，用计算计机乂计算了两个具有不同速度孤立波前后追逐屮发生的现象