2011数学高考专题复习-三角函数与平面向量

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1、三角函数与平面向量一：专题复习指导：此内容历来为高考命题的热点，分值约占15％。试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，以及化简、求值和最值等重点内容的复习。又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。二：复习的目标和要求：1．理解任意角的概念，弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。2．掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义，了解余切，正割，余割的定义。3．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法

2、等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．4．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．5．掌握正弦定理，余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。6．熟练掌握平面向量的概念，加法运算，减法运算，数量积运算。三：专题教学安排本专题分3课时完成：第一课时三角函

3、数化解计算与证明；第二课时三角函数图象与性质；第三课时解三角形与三角综合。四：主要内容与方法技巧：1．三角函数式的化简和求值是高考考查的重要内容之一。求值类型：（1）给角求值，（2）给值求角，（3）给式求值，（4）求函数式的最值或值域，（5）化简求值。2．函数的图象及简单性质，以及这类函数解析式的求解方法。3．利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。4．解三角形是三角函数知识的综合应用。须理解有关名词和术语：坡度，俯角，仰角，方向角，方位角。对一些简单问题，直接应用三角函数概念或三角知识即可解决；而对

4、一些比较复杂的应用问题，需综合代数，立体几何，解析几何的知识。5．方法技巧：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。（5）求最值问题，常用配方法，换元法解决。（6）证明不等式的方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法五：例题分析例1．已知，求（1）；（2）的值.解：（1）；11（2）.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，

5、通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。例2．(1)若；（2）若．解：(1)①②①2②2得,即.(2),,例3．求函数的值域。解：设，则原函数可化为，因为，所以当时，，当时，，所以，函数的值域为。例4．已知函数。（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数的图像关于直线对称。解：11(1)所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，因为，，所以成立，从而函数的图像关于直线对称。例5．已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

6、（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x－1)++（2sinx·cosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x

7、x=+kπ,k∈Z}（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得

8、到函数y=sin(2x+)的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。说明：本题属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin(ωx