浙江大学高等代数00-07

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1、浙江大学二〇〇〇年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数一、（20分）是数域上的不可约多项式（1），且与有一个公共复根，证明；（2）若及都是的根，是的任一根，证明也是的根.二、（10分）计算行列式.三、（20分）（1）是正定阵，是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵使得同时为对角形；（2）是正定阵，是实矩阵，而是实对称的，证明：正定的充要条件是的特征值全大于0.四、（20分）设维线性空间的线性变换有个互异的特征值，线性变换与可交换的充要条件是是的线性组合，其中为恒等变换.五、（10分）证明：阶幂零指数为的矩阵都相似.（若，而称的幂零指数为）六、（20分）设是维欧氏空间的线性变

2、换。对任意，都有。证明：的核等于的值域的正交补.浙江大学高等代数2001一.分别在复数域,实数域和有理数域上分解+1为不可约因式之积.(10分)二.设n>=2,计算n阶行列式=det(),其中=也即=三设A为实矩阵(10分)1.求证:秩()=秩()2.设X=(,b是矩阵求证:现性方程组有解四设A是一个矩阵,且求证:1.存在n级可逆矩阵P,使,其中为r级单位矩阵,2.秩(+秩(E-A)=n3.A可以表示为两个对称矩阵的积五设A,B都是n级方阵且AB=BA,设A有n个不同的特征值,证明B相似于对角矩阵（六）、设U与W分别是数域P上齐次线性方程组与的解空间，试求证(七)、证明任一n

3、级复矩阵A均可分解为其中M为幂零矩阵（即存在某个正整数t使），而N相似于对角矩阵，而且MN=NM（八）、设是n级实矩阵，若对于内积（九）、设A，B是数域P上n级方阵且满足AB=BA，求证：秩（A+B）秩（A）+秩(B)-秩(AB).浙江大学高等代数2002一．设两个多项式和不全为0，求证：对于任意的正整数n,有。二．设，（k=0,1,2,…..）;,(i,j=1,2,…..n),计算行列式：。三．设都是n级矩阵，且,求证：一．设是m*n级阵,的秩为m,B是n*(n-m)级矩阵,B的秩n-m，且=0,如果n维列向量是齐次线性方程组=0的解，求证：存在唯一的（n-m）维列向量,使

4、得=.二．求=,的和与交的基与维数。其中，。三．用正交线性替换化下面的实次型为标准型，并写出所的正交线性替换。。四．设是n级复矩阵，且，求证:存在一个n级可逆矩阵,使得与都是上三角矩阵。五．设是n级复矩阵，其中是幂０矩阵（即存在正整数，使得），且，求证：.六．设是维线性空间的线性变换，在的某组下的矩阵是，用表示的核，表示的值域。求证：秩（）=秩（）的充分必要条件是。浙江大学2003年研究生高等代数试题1．（20分）令是中个线性无关的向量。证明：存在含个未知量的齐次线性方程组，使得是它的一个基础解系。2．（20分）设有分块矩阵，其中都可逆，试证：（1）；（2）。3．（20分）设

5、是数域上维线性空间，，，又有且线性无关。求证：可用替换中的两个向量，使得剩下的两个向量与仍然生成子空间，也即。4．（20分）设为阶复矩阵，若存在正整数使得，则称为幂零矩阵。求证：（1）为幂零矩阵的充要条件是的特征值全为零；（2）设不可逆，也不是幂零矩阵，那么存在阶可逆矩阵，使得，其中是幂零矩阵，是可逆矩阵。5．（20分）已知实对称矩阵，求正交矩阵使得成为对角矩阵。6．（20分）设是维欧氏空间，内积记为，又设是的一个正交变换，记。证明：（1）都是的子空间；（2）。7．（10分）设是一个整系数多项式。证明：若存在一个偶数及一个奇数，使得与都是奇数，则没有整数根。8．（10分），是

6、维欧氏空间的子空间，且的维数小于的维数，证明：中必有一个非零向量正交于中的一切向量。9．（10分）设是可逆的对称实矩阵。证明：二次型的矩阵是的伴随矩阵。阿浙江大学二〇〇四年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数1.（每小题8分，共16分）计算阶行列式：1）2）。2.（16分）设，。已知可逆。求证：存在使。（注：是数域，表示元素在中的阶方阵的集合）3.（16分）设，，求证：。证明：（1）当时，这时有，由公式，可得。结论成立（2）当时，考虑矩阵，由于、都最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个，使得①那么有上面（1）的结论有②令由②式有③由于有无穷多个使①式成立，从而有无穷多

7、个使③式成立，但都是多项式，从而③式对一切都成立。特别令，有。证毕4.（题（1）为15分，题（2）为5分，共20分）实二次型经正交线性替换化为标准型。（1）求及正交矩阵；（2）问二次型是正定的吗？为什么？5.（16分）设，且。证明：存在阶可逆矩阵使得。证明：设矩阵，的秩分别为。对于矩阵，，存在着可逆的级矩阵，使得，则，令，则有成立。6.（16分）设是阶复矩阵，且存在正整数使得（这里是阶单位阵）。证明：与对角矩阵相似。7.（每小题9分，共18分）设看成上的线性空间。取定。对任意，令。求证：（1）是的线性变