浙江大学2008高等代数 文档new

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1、浙江大学2008高等代数考研试题322一.设λλλ,,是多项式fx()=x+x+−x1的3个根，gx()=x++x1，求一个123以有理数为系数的多项式px()，且px()以为gx(),gx(),gx()根.123【解】根据韦达定理得δ=λ+λ+λ=−1，δ=λλ+λλ+λλ=1，δ=λλλ=1，112321223313123故根据对称多项式定理得2g()λ+g(λ)+g()λ=δ−2δ+δ+=3112312122g()(λgλ)+g(λ)()gλ+g()()λgλ=δ−2δδ+δδ−3δ+2δ−4δ+2δ+δ+=−31122331213123121222g()(λgλ)()gλ=

2、δ+2δ+δδ+δδ+δδ−2δ+δ+=−131233112233131从而32px()=x−x−+x3.2nn二.试证：fx()=x+2x+b（其中b为任意复数）没有非零重数大于2的根.【证明】利用反证法证明2n−1n−1n−1nfx′()=2nx+2x=2nx(x+1)若fx()有重数大于2的非零根，在fx′()有重数大于1的非零根，但是n−1nfx′()=2nx(x+1)没有非零重根，从而fx()没有非零重数大于2的根.11⋯1222xx⋯x12nxx⋯x12n⋮⋮⋱⋮x2x2⋯x2∞12ni−1i−1i−1三.设D1=，Di=x1x2⋯xn，（i=2,⋯,n），求∑Di.⋯

3、⋯⋯⋯iiii=1xx⋯xnnn12nxx⋯x12n⋮⋮⋱⋮nnnxx⋯x12n1nn【解】根据范德蒙德行列式D=x(x−x)，则1∏k∏jkk=11≤<≤kjn11⋯112222xx⋯xy12n⋮⋮⋱⋮⋮ni−1i−1i−1i−1x1x2⋯xny=∏(y−xk)∏(xj−xk)iiiik=11≤<

4、1⎣i=1⎦⎣1≤<

5、2A相似于对角矩阵.五.设矩阵A=(a)是正定矩阵，证明A≤aa⋯a，且等号成立的充分必ij1122nnnn×要条件是A为对角矩阵.【证明】利用数学归纳法（i）当n=1时，A=a，显然有A≤a.1111当n=2时，矩阵A是正定矩阵，A=aa−aa>0，有11221221A=aa−aa≤aa成立.112212211122⎡An−1b⎤（ii）假设n−1时都成立，设A=⎢⎥，其中A是A的n−1n−1⎣b′a⎦nn′阶段子式，b=(a,a,⋯a)，1n2nn−1,n−1⎡EO⎤⎡Ab⎤⎡E−Ab⎤⎡AO⎤n−1n−1n−1⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−1−1⎣−bA′1⎦⎣b′a⎦O1⎣Oa−bA

6、′b⎦n−1nn⎣⎦nnn1−−1由于A≤aa⋯a，A正定则a−bA′b≤an−11122n−1,n−1nnn1−nnAbAOn−1n−1−1==Aa−bA′b≤a⋯aa.−1n−1nnn1−11n−1,n−1nnb′aOa−bA′bnnnnn1−从而证明了n时命题也成立.综合（i）（ii）可知在所有自然数原命题成立.A=aa⋯a⇔A是对角阵.1122nnm六.设矩阵A是幂零矩阵（幂零矩阵是指存在正整数m，使得A=O），E为单位矩阵，B是实可逆矩阵.（1）证明A+E=1；（2）若AB=BA，证明A+B=B.【证明】（1）矩阵A是幂零矩阵则∃P可逆，使得−1−1PAP=O，则A=PO

7、P−1−1−1A+E=POP+PEP=PEP=E=1−1−1（2）若AB=BA，则∃P可逆，使得PAP，PBP同为上三角3形矩阵，则−1−1−1PAP+PBP=P(ABP+)=A+B−1−1−1PAP+PBP=O+PBP=B所以A+B=B七．AB,均为n阶矩阵，证明AB和BA有相同的特征多项式.【证明】原题即证明λE−AB=λE−BA⎡A⎤⎡λEO⎤⎡EA⎤⎡λE−ABO⎤E−⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥λ1⎣OE⎦⎣BE⎦⎢⎥⎢OE−BA⎥⎣OE⎦⎣λ⎦⎛1⎞λE−AB=λE