中考数学辅导之—直线和圆的位置关系(一)

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1、中考数学辅导之—直线和圆的位置关系(一)一、学习目标：1．理解直线和圆相交，相切，相离的概念，掌握直线和圆的位置关系的判定和性质。2．掌握切线的判定和性质，并能应用它们证明有关问题。2．会用尺规作三角形的内切圆，掌握三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念。二、基本内容及应注意的问题：1．在切线的定义中，要准确理解“直线和圆有唯一公共点”的含义，它是指有一个并且只有一个公共点，与“直线和圆有一个公共点”的含义不同，避免出现“直线和圆有一个公共点时叫直线和圆相切”的错误。2．由直线和圆的三

2、种位置关系可以直观的得到圆心到直线的距离与圆半径的数量关系：(1)直线和⊙Ｏ相交Û＜，(2)直线和⊙Ｏ相切Û＝，(3)直线和⊙Ｏ相离Û＞；这三个结论，既可以作为直线和圆的各种位置关系的判定，又可作为性质。3．直线和圆的位置关系既可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小来区分，两种方式是一致的。4．对于切线的判定定理，必须分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则便不是圆的切线。5．切线的性质有一个定理和两个推论，其中定理用途较广泛，必须熟练掌握。实

3、际上，(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心。这三个条件中，知道任意两个，就可以得出第三个。6．在运用切线的判定和性质定理时，常常需要添加辅助线，一般规律为：(1)已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置一般是确定的。在写已知条件时，应交待直线和圆相切于哪一点，辅助线常常是连结圆心和切点，得到半径，从而得出“切线垂直于半径”的结论。(2)要证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，则可以作出这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，常常过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。

4、7．判定一条直线是圆的切线有三种方法：(1)和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)和圆心距离等于该圆半径的直线是圆的切线；(3)过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。其中(1)是切线的定义；(2)和(3)本质相同，表达形式不同。解题时，可根据题目的特点选择适当的判定方法。8．切线的性质主要有如下五个：(1)切线和圆有且只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于该圆的半径；(3)圆的切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心。其中，(1)是切线的

5、定义；(2)是判定方法的逆命题；(3)、(4)、(5)即为课本上的性质定理及其推论。9．任意三角形都有且只有一个内切圆（因为圆心是唯一确定的，半径只有一个定长），而任意多边形不一定有内切圆。10．三角形的内心是用“三角形的内切圆的圆心”来定义的，由于三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。三、例题：例1．已知：如图（1）AB是⊙O的直径，CB⊥AB，AC交⊙O于E，D是的BC的中点，求证：直线DE是⊙O的切线。证明：连结OE、BE，∵AB是⊙O

6、的直径，∴∠AEB=90O，∴BE⊥AC，则∠BEC=90O，又∵D是BC的中点，∴DE=BD=BC，∴∠DBE=∠DEB∵OE=OB∴∠OBE=∠OEB因此：∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB即：∠OED=∠OBD∵BC⊥AB即：∠OBD=90O∴∠OED=90O则DE是⊙O的切线。评析：(1)此例是由直径、圆周角、直角三角形斜边上的中线、切线的判定等知识构成的命题。(2)证一条直线是圆的切线,常用的两个判定方法是：直线过圆上一已知点时，作过这点的半径转证直线垂直于这条半径；直线和圆的公共点的位置未知时，过圆心作

7、到直线的距离，转证此距离等于圆的半径。此例显然用的是第一种方法。（3）此题的分析思路：要证DE是圆的切线，而E在圆上，据圆的切线的定义则E是切点，所以应连结OE，转证DE⊥OE。例2．已知：如图（2）所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥CD于D，BC⊥CD于D，且AD+CB=AB，以斜腰AB为直径作⊙O，求证：CD是⊙O的切线。图（2）分析：要证CD是⊙O的切线，切点在什么位置呢？无法判定，因此应该用证明切线的第二种方法，作圆心到直线的距离OE，转而证OE等于圆的半径。证明：过O作OE⊥CD于E，∵AD⊥CD，BC⊥CD

8、∴AD

9、

10、OE

11、

12、BC∵O是AB中点，则E是CD中点。∴OE是梯形ABCD的中位线，∴OE=(AD+BC)又∵AD+BC＝AB∴OE=AB。则DC是⊙O的切线。例3．如图（3）所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90O，E为AB上的一点，ED平分∠ADC，EC平分∠BCD。求证：以AB为直径的圆与DC相切。图（3）分析：要证以