2013-常微分方程第2章

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1、常微分方程第二章一阶微分方程的初等解法授课教师：胡鹏彦授课对象：13本科本章主要讨论一些特殊一阶微分方程的初等解法—积分法.§2.1变量分离方程与变量变换一、变量分离方程二、可化为变量分离方程的类型三、应用举例§2.1变量分离方程一、变量分离方程1.定义形如的方程称为变量分离方程,这里f(x),(y)分别是x,y的连续函数.§2.1变量分离方程2.解法(i)如果(y)0,则有该步骤将变量分离开来了,然后通过两边积分即可得原方程的解,这也是该种方程称为变量分离方程的原因.§2.1变量分离方程两边积分上式中c为任意常数,不定积分理解为被积函数的一个原函数,(2.2)为方程(2.1)的隐

2、式通解,若能解出y为x的函数y(x,c),可得到方程(2.1)的通解.§2.1变量分离方程(ii)如果(y)0有根y0,则可验证yy0也是方程(2.1)的解,此解与(2.2)构成(2.1)的通解,有时yy0可通过c取特殊的值而由(2.2)得到,这时(2.1)的通解就只有(2.2).§2.1变量分离方程3.例子例1求解方程§2.1变量分离方程例2求解方程方程满足初值条件t0时x(0)x0,y(0)y0的特解为§2.1变量分离方程例3求解人口增长的logistic模型§2.1变量分离方程例4求方程的通解,其中P(x)是x的连续函数.§2.1变量分离方程二、可化为变量分离方程的

3、类型1.形如的方程,称为齐次微分方程,这里g(u)是u的连续函数.§2.1变量分离方程令即yux,则代入(2.5)并整理可得§2.1变量分离方程例5求解方程§2.1变量分离方程例6求解方程§2.1变量分离方程2.形如的方程,这里a1,a2,b1,b2,c1,c2,均为常数.§2.1变量分离方程(i)§2.1变量分离方程(ii)此为变量分离方程.§2.1变量分离方程(iii)此为齐次方程.§2.1变量分离方程上述过程对更为一般的方程也有效.§2.1变量分离方程其它可化为变量分离方程的方程§2.1变量分离方程§2.1变量分离方程§2.1变量分离方程§2.1变量分离方程这里M(x,y)和N(x

4、,y)为x,y的齐次函数.§2.1变量分离方程§2.1变量分离方程例7求解方程§2.1变量分离方程§2.1变量分离方程三、应用举例例1电容器的充电和放电.§2.1变量分离方程例9探照灯反射镜面的形状.§2.1变量分离方程作业P421(2,6,8),2(2,3,5),3,4,6§2.2线性微分方程与常数变易法一、一阶线性微分方程二、伯努利微分方程§2.2线性方程与常数变易法一、一阶线性微分方程考虑一阶线性微分方程其中P(x),Q(x)是区间上的连续函数.当Q(y)0时称为一阶齐次线性微分方程.若Q(y)0,则称之为一阶非齐次线性微分方程.§2.2线性方程与常数变易法1.一阶齐次线性微分

5、方程的解为其中c是任意常数.§2.2线性方程与常数变易法2.对于一阶非齐次线性微分方程,令为(2.28)的解,其中c(x)是待定函数.对(2.29)求导,代入(2.28)并整理可得积分可得其中是任意常数.§2.2线性方程与常数变易法代入(2.29)即得一阶非齐次线性微分方程的通解为这种将一阶齐次线性微分方程通解中的常数变易为待定函数求一阶非齐次线性微分方程通解的方法称为常数变易法.注若方程不能化为(2.28)的形式,则可将x视为y的函数再看是否可化为(2.28)的形式.§2.2线性方程与常数变易法例1求方程的通解,这里n为常数.§2.2线性方程与常数变易法例2求方程的通解.§2.2线性方程

6、与常数变易法二、伯努利微分方程形如的方程称为伯努利微分方程,这里P(x),Q(x)是连续函数,n0,1.§2.2线性方程与常数变易法对于伯努利微分方程,可利用变量变换将其化为以z为未知函数的线性方程然后,利用一阶线性微分方程的求解方法进行求解,将得到的通解再代回到原来的未知函数即得伯努利微分方程的通解.注意,y0也是伯努利微分方程的解.§2.2线性方程与常数变易法例3求方程的通解.§2.2线性方程与常数变易法作业P491(3,4,8,11,13,15,16),7(2)§2.3恰当微分方程与积分因子一、恰当微分方程二、积分因子§2.3恰当方程与积分因子一、恰当微分方程设一阶微分方程还可

7、以写成如下形式则称为恰当微分方程.1.定义设M(x,y),N(x,y)在某矩形域内连续,且具有连续的一阶偏导数.若存在函数u(x,y),使得§2.3恰当方程与积分因子对于恰当微分方程,易知其通解是其中c为任意常数.问题(i)如何判断(2.42)是恰当微分方程?(ii)若(2.42)是恰当微分方程,如何求u(x,y)?§2.3恰当方程与积分因子第一个问题必要条件假设(2.42)是恰当微分方程,则存在u(x,y)有所以,§2