【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第3章《一元方程》竞赛专题复习

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1、2018年初中数学竞赛辅导专题讲义第3章一元方程3.1一元一次方程3.1.1★已知下面两个方程，①②有相同的解，试求的值．解析本题解题思路是从方程①中求出的值，代入方程②，求出的值．由方程①可求得，所以．由题设，也是方程②的解，根据方程解的定义，把代入方程②时，应有，，所以，．3.1.2★解方程：．解析本题将方程中的括号去掉后产生，但整理化简后可以消去，也就是说，原方程实际上仍然是一个一元次方程．将原方程整理化简得，即．⑴当时，即时，方程有唯一解；902018年初中数学竞赛辅导专题讲义⑵当时，即或．若，即，时，方程无解；若，即时，方程有无数多个解．评注含有字

2、母系数的方程，一定要注意字母的取值范围，解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．3.1.3★★若，解方程．解析因为，所以原方程可变形为．化简整理为，，，所以，为原方程的解．评注像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．3.1.4★★已知关于的方程．且为某些正整数时，方程的解为正整数，试求正整数的最小值．解析由原方程可解得．因为为正整数，所以应是大于的整数．所以，即．又因为为正整数，要使为整数，必须是10的倍数，而且为使最小，所以应取902018年初中数学竞赛辅导专题讲义．所以．所以满足题设的正整

3、数的最小值为2．评注本题实际上是求的最小正整数解．3.1.5★★已知关于的方程有两个不同的解，求的值．解析一元一次方程或者有一个解，或者有无数个解，或者无解，本题中的一元一次方程有两个解，所以我们可以证明它有无数个解，进而可以确定、．设方程的两个不同的解为、，则有，①，②②①，得．因为，所以．把代入①式，得．所以，．3.1.6★已知关于的方程无解，求的值．解析将原方程变形为．由已知该方程无解，所以解得，所以即为所求．3.1.7★★已知关于的方程有无限多个解，求、的值．解析原方程变形为．902018年初中数学竞赛辅导专题讲义解得，．3.1.8★为何正数时，方程

4、的解是正数？解析按未知数整理方程得．要使方程的解为正数，需要．不等式的左端．因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，所以或即为所求．3.1.9★★若、、是正数，解方程．解析原方程两边乘以，得到方程．移项、合并同类项得，因此有．因为，，，所以，于是，即为原方程的解．3.1.10★★★设为正整数，表示不超过的最大整数，解方程902018年初中数学竞赛辅导专题讲义．解析由于是整数，是整数，所以必为整数，故，所以原方程可化为，合并同类项得，故有．所以，为原方程的解．3.2一元二次方程3.2.1★若方程与方程至少有一个相同的实数根，求实数的值．解析

5、假定这个相同的实数根为，则将它代入两个方程，得到两个关于、的等式，视它们为关于、的方程组，即可求出的值．设是两个方程相同的根，则有，．①两式相减，得，即．所以或．当时，两个方程都是．这个方程无实根，故不合题意．当时，代入①式中任何一式，都可解得．所以所求的的值为2．902018年初中数学竞赛辅导专题讲义3.2.2★已知实数，且满足，．求的值．解析、是关于的方程的两个根，整理此方程，得，由于，，．故、均为负数．因此．3.2.3★★已知是方程的一个根，求的值．解析因为是所说方程的根，所以，故，由此得到．．求也可用下面的方法：因，将两边同除以，易得到，902018

6、年初中数学竞赛辅导专题讲义故．3.2.4★★三个不同实数、、使得方程和有一个相同的实数根，且使得方程和也有一个相同的实数根，求的值．解析因为方程和有一个相同的实数根，所以，，两式相减得．又方程和也有一个相同的实数根，所以，，两式相减得（显然）．于是，故也是方程的根，所以．由和得，或者（此时，无实根，舍去），所以，，，于是．3.2.5★★对于一切不小于2的整数，关于的一元二次方程的两个根记作、，求的值．解析由根与系数的关系数得，，所902018年初中数学竞赛辅导专题讲义，则，．3.2.6★★已知互不相等的实数、、满足，求的值．解析由得，代入得，整理得．①又由可

7、得，代入①式得，即，又，所以，所以．验证可知：，时，，时．因此，．3.2.7★如果、都是质数，且，，求的值．解析当时，；当时，、为方程的两个根，所以．因为、都是质数，故、的值只可能是和11，所以．3.2.8★★已知三个关于的一元二次方程，，902018年初中数学竞赛辅导专题讲义恰有一个公共实数根，求的值．解析设是它们的公共实数根，则，，，把上面三个式子相加，得，因为，所以，，于是．3.2.9★★设实数和满足方程，，并且和的积不等于1，求的值．解析因为，所以，第一人方程可以变形为：．又因为，所以，、是一元二次方程的两个不同的实根，所以，，即，．所以．3.2.1

8、0★★★已知方程的两个根、也是方程的根，求、的值．解