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《人教版初中数学竞赛专题复习第3章一元方程-3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、(P-8^+15)x2-2(13-3^)x+8=0的两根都是整数，求实数点的值.解析由于R是实数，所以不能利用判别式来求解.先求出方程的两根丙=丄，匕二丄，rti于5-k"3_k召、勺是整数，所以，从上面两式中消去便得关于召、兀2的不定方程，解出召、心便能求得原方程为伙-3)伙-5)兀$一2(13-3約+8=0,[(fc-5)x+2][(jt-3)x+4]=0,24所以兀]二，禺=15-k・3_k消去得xAx2+2兀]一七=0，(x,-1)(x2+2)=-2,西一1=-2,-1,1,2,故+2=1,2,—2,—1.
2、解得(舍去)，X。——1,A*2=0~9［兀2=—彳.213从而k=5=7,4,—•xl313所以，所求的k=4,7,33.5.7★★设。是质数，并使得方程x2-px-580p=0有两个整数根，求#的值.解析因为方程x2-px-580/7=0的根呈整数，所以其判别式(_/7)2-4xlx(-580/?)=/r+4x580p=/9(p+2320)必是完全平方数.因°是质数，°必整除p+2320,于是"整除2320=24x5x29.因此〃=2,5或29.当〃=2时，则有尸+4x580〃二4644,不是一个完全平方数.当0=5
3、时，贝I」有/异+4x580。二11625,不是一个完全平方数.当〃=29日寸，贝IJ有“2+4x580〃=2612.所以p=29.(叫吐牢笙今…“3.5.8*★★已知a、b是正整数，试问关于兀的方程x2-abx-^^a+b)=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出來；如果没有，请给予证明.解析不妨设aWb,设方程的两个整数根为召、x2(x.^x2),则有所以xAx2-xx-x2=^a^^b-ah,4（X
4、—1）（兀2_1）+（2a一1）（2Z?—1）=5.因为a、b都是正整数，所以占、兀2均是正整数，于是，占-1$0
5、,兀2-120,2a-121,2b-1M1,所以(%!-l)(x2-1)=0,或(召-1)(兀2j)i,(2a—l)(2b—l)=5,一[(2a_l)(2b_l)=l.[(x.-l)(x2-l)=0,⑴当II八2)时，由°、是正整数，且aWb,可得a=l,b=3,此时，一元二次方(2—1)(2—1)=5程为x2-3x+2=0,它的两个根为西=1,x2=2.(2)当1；2时，可得gl,b=l,此时，一元二次方程为x2-x+l=0，无整数解.(2a-l)(2fe-l)=l综上所述，当且仅当67=1,b=3时，题设方程有整
6、数解，它的两个整数解为x.=l,x2=2.3.5.9**★已知卩、q都是质数，且使得关于兀的二次方程x2-(8p-l0g)x+5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对(p.q).解析由方程两根的和为切-10。可知，若方程有一个根为整数，则另一个根也是整数.由方程两根的积为5pq,知方程的另一个根也是正整数.设方程的两个正整数根分别为召、兀2(召冬兀2)，由根与系数的关系得占+W=8p-10q,①x{x2=5pq.由②得，召、勺有如下几种可能的情况:壬='、5小q、5p、5q、VX2=5pq、pq、5q、5p、q、p、
7、所以，x,+x2=5pq+1,pq+5,p+5q,q+5p,代入①.当x}+x2=5pq+1时，5pq+1=8p-10^,而5pg+l>10p>8p-10q,故此时无解.当X[+兀2="9+5时，〃q+5=8°-10q,所以(〃+10)(q_8)=_85,因为卩、§都是质数，只可能Jq-8=-5,-1,1/2+10=17,85,所以(阳)=(7,3)•当X[+尢2=P+5q时，〃+5q=8〃-10q,所以Hp二5q,不可能.当xl+x2=5p+q^寸，5〃+q=8p-10q,所以3p=llq,丁•是，(阳)=(11,3
8、).综上所述，满足条件的质数对(〃,q)=(7,3)或(11,3).3.5.10**★已知关于x的一元二次方程(6—比)(9一比)兀2—(117—15£)兀+54二0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数£的值.解析原方程可化为[(6-約兀-9][(97)—6卜0,因为此方程是关于x的一元二次方程，所以£工6,£h9.于是96X—,—■16_k~9-£从上画两式中消去得£兀2_2斗+3兀2=0，于是(xj+3)(吃-2)=-6・因为珀、吃均为整数，所以兀[+3=—6,—3,—2,—1,1,2,3,6,*X)—2=1,2,
9、3,6,—6,—3,—2,—1•故占=一9,-6,-5将召=-9,式得£=7,2=6^2~6,-Y'一2,-1,0,3.显然召工0,乂Y'一2，-1,3分别代入上式得39~5~331~，3・5.11**★设关于乂的件的所有实数是的值.解析原方程式可变形为：nm“y+2）=o,3小+仁2）〕1>2）冲+2）]=。因（—
