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《2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案1.5.2 二项式系数的性质及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1．5.2 二项式系数的性质及应用(a＋b)n的展开式的二次式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：问题1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.问题3：二项式系数最大值有何规律？提示：n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大．二项式系数的性质一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，…，C有如下性质：(1)C＝C；
2、(2)C＋C＝C；(3)当r＜时，C＜C；当r＞时，C＜C；(4)C＋C＋C＋…＋C＝2n.1．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．2．当n为偶数时，二项式系数中，以Cn最大；当n为奇数时，二项式系数中以Cn和Cn(两者相等)最大．3．二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等．9二项展开式中系数的和[例1] 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)
3、a0
4、＋
5、a1
6、＋
7、a2
8、＋…＋
9、a7
10、.[思路点拨] 根据展开式的特点，对x合理赋
11、值，将系数分离出来，通过式子的运算求解．[精解详析] 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…a7＝－1①令x＝－1，则a0－a1＋a2＋…－a7＝37②(1)令x＝0，则a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.(4)
12、a0
13、＋
14、a1
15、＋
16、a2
17、＋…＋
18、a7
19、＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝37＝2187.[一点通] (1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等
20、情况．(2)一般地，二项式展开式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]．1．设(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则
21、a0
22、＋
23、a1
24、＋
25、a2
26、＋…＋
27、a6
28、＝________.解析：∵Tr＋1＝C(2x)6－r(－1)r＝(－1)r26－rCx6－r，∴ar＝(－1)r26－rC.9∴
29、a0
30、＋
31、a1
32、＋
33、a2
34、＋…＋
35、a6
36、＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝[2×(－1)－1]6＝36.答案：362．二项式n的展开式中各项系数的和为________．解析：依题意得，该
37、二项展开式中的各项系数的和为n＝0.答案：03．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)求
38、a0
39、＋
40、a1
41、＋
42、a2
43、＋…＋
44、a5
45、；(3)求a1＋a3＋a5.解：(1)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.①(2)令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－243.②∵
46、a0
47、＋
48、a1
49、＋
50、a2
51、＋
52、a3
53、＋
54、a4
55、＋
56、a5
57、＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，∴
58、a0
59、＋
60、a1
61、＋
62、a2
63、＋
64、a3
65、＋
66、a4
67、＋
68、a5
69、＝－243.(3)a1＋a2＋a3＝＝－121
70、.二项式系数的性质[例2] (1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[思路点拨] 求(a＋bx)n的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A1，A2，…，An＋1，再设第r＋1项系数最大，由不等式组确定r的值．[精解详析] T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26⇒n＝8.∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1120x4.设第r＋1项系数最大，则有，解得5≤r≤6.∴r＝5或r＝6.∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6
71、.9[一点通] (1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得．4．已知(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝________.解析：∵(a＋b)n的
