相似三角形的性质的应用

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1、相似三角形的性质的应用安徽　明师　　一、求边长　　典例1　高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，求该建筑物的高度．　　【分析】在同一时刻，旗杆与它在水平地面上的影子长和建筑物与它在水平地面上的影子长成比例，故可根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”，由对应边成比例可求得建筑物的高度．　　解　画出上述示意图，即可发现：　　△ABC∽△A′B′C′　所以＝，　　于是得，BC=×B/C/=16（m）．　　即该建筑物的高度是16m．　　典例2　在△ABC中，AB=9，AC=2，BC=18，D为A

2、C上一点，DC=AC，在AB上取一点，得到△ADE，若图中的两个三角形相似，则DE的长为＿＿＿＿＿＿．　　【分析】根据题设条件，两个三角形相似的对应性没有明确，具有结论的不确定性，因而应分两种情况解答此题．对于未给图形题问题的解答时，要注意运用分类的思想方法．　　解　分成如下两种情况求解：　　①若D点的对应点为C点时，(ED∥BC)(图1)　　即△AED∽△ABC，　　∴，　　∴DE=6　　②若D点的对应点为B时，(∠ADE=∠B)(图2)　　即△ADE∽△ABC　　∴，　　∴DE=8　　∴DE的长为8或6．　　二、求角　　典例3　已

3、知△ABC中直线l截AB、AC于D、E，又△ADE与△ABC相似，∠ABC=45°，∠ACB=60°，求：∠ADE与∠AED．　　【分析】　如图所示，满足已知条件的直线l有两种不同的位置情况：　　在图(1)中，∵△ABC∽△ADE　　∴，∴DE∥BC，　　则∠ADE=∠ABC=45°，∠AED=∠ACB=60°　　在图(2)中，∵△ADE∽△ACB　　∴∠ADE=∠ACB=60°，∠AED=∠ABC=45°　　【点拨】　本容易产生如下误解：　　∵△ADE∽△ABC∴BC∥DE　　则∠ADE=∠ABC=45°，∠AED=∠ACB=60°

4、．　　由于已知中没有说明两个相似三角形的对应角，又未给出图示，所以应该根据符合题设的位置关系，分两种情况讨论．另外在误解中应用了定理：“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的逆命题，它是不正确的，如图所示．即使逆命题正确，也应该先给出证明然后再运用．　　典例4　如图，，试说明∠BAD=∠CAE．　　【分析】　欲说明∠BAD=∠CAE，可转化为说明△ABC～△ADE，得到∠BAC=∠DAE，由已知条件，三边对应成比例的两个三角形相似．　　解　∵　　∴△ABC～△ADE，∴∠BAC=∠DAE，即∠BAC－∠

5、DAC=∠DAE－∠DAC，故∠BAD=∠CAE．　　【点评】　具备两边或三边对应成比例，而要求说明角相等，常利用相似三角形来说明，具备两边成比例的，可以考虑夹角是否相等或第三边是否成比例，具备三边对应成比例，考虑这三条边是否能构成三角形．　　三．证明等积式　　典例5　如图1，D、E是△ABC边AB、AC上的点，且BD=CE，DE的延长线交BC的延长线于F．求证：AB·DF=AC·EF．　　　　【分析】　作平行线构造相似三角形，如下两种方法供参考：　　证法一：　过E点作EG∥AB交BF于G　　　　∵EG∥AB∴△EGC∽△ABC　　　

6、　∵BD=CE，由①②得，　　∴AB·DF=AC·EF　　证法二：　如图2，过D点作DG∥AC交BC于G　　∴△ECF∽△DGF，△ABC∽△DBG　　∴　　∴，又DB=EC，　　∴，∴AB•DF=AC•EF．　　【点评】　证明乘积式，一般可按下列顺序思考：　　①直接应用乘积式的定理，如三角形面积公式，……等．　　②把乘积式化成比例式，看比例式中四条线段能否构成相似三角形对应边的比．　　③直接找不到相似形时，可考虑过渡，通过相似三角形、平行线，……等，找两个线段的中间比．就本题而言，将乘积式化为比例式或，再考虑添加辅助线――作平行线（

7、因图中没有相似形），找出要求证的内容．　　典例6（2006新疆中考题）　已知，如图，E是四边形ABCD内一点，∠BAE=∠BDC，∠ABE=∠DBC．求证：AB·CE=BE·AD．　　【分析】　要证等积式AB·CE=BE·AD，只须证比例式．因为AB、AD和BE、CE分别是△ABD和△BCE的边，只须证△ABD∽△EBC即可．又∠ABD=∠EBC，只须证，而AB、BE和BD、BC分别是△ABE和△DBC的边，故证△ABE∽△DBC可得，显然它们相似．　　证明：∵∠BAE=∠BDC，∠ABE=∠DBC，　∴△ABE∽△DBC（两角对应相

8、等，两三角形相似）．　，　∵∠ABE=∠DBC．　∴∠ABE＋∠EBD=∠DBC＋∠EBD，即∠ABD=∠EBC，　∴△ABD∽△EBC（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似），　∴，即AB·CE=AD·BE．　　【点