08 矩阵函数的求法

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1、第八讲矩阵函数的求法一、利用Jordan标准形求矩阵函数。对于矩阵的多项式，我们曾导出，：多项式实际上，以上结果不仅对矩阵的多项式成立，对矩阵的幂级数也成立。由此引出矩阵函数的另一种定义及计算方法。1.定义：设n阶矩阵A的Jordan标准形为J，有非奇异矩阵P使得：对于函数f(z)，若下列函数均有意义，则称矩阵函数f(A)有意义，且2.矩阵函数的求法（步骤）：求出A的Jordan标准形及变换矩阵P，对于J的各Jordan块求出，即计算出并按照顺序构成，合成矩阵乘积给出需要说明的是，计算结果与Jordan标准形中Jordan块的顺序无关。例1

2、（教材P176例3-8）.,求[解]1求出J及P2求出并构成：f(1)=1,3合成4求，说明：（1），可见这样的确与构成反函数；（2）矩阵函数的种类不仅是我们介绍的这种，如辛矩阵。以为例，以我们这里的定义，，但亦满足，即B也可以看作某种二、利用零化多项式求解矩阵函数.利用Jordan标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，它需要求J和P。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。定律：n阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第n个（也就是最后一个）不变因子。（可参见张远达《线性代数原理》P215）设n阶方阵A的不变因子反向依次为，由它们给

3、出的初等因子分别为；；由于，故1必定出现在中；2若则根据上述定理，A的最小多项式A的最小多项式为其零化多项式，即令，则可见可以由线性表示，从而亦可由线性表示。所以，矩阵函数f(A)若存在，也必定可由线性表示。因此，我们定义一个系数待定的(m-1)次多项式，根据以上论述，适当选择系数，就可以使f(A)=g(A).又，假设J,P分别为A的Jordan标准形及相应变换矩阵：则，f(J)=g(J)由于g(A)为待定系数的多项式，上面就成为关于的线性方程组。且方程的个数为等于未知数个数，正好可以确定由此给出根据最小多项式求矩阵函数的一般方法。1求出最

4、小多项式；（或者特征多项式）2形式上写出待定多项式（或者）3求解关于的线性方程组（或者）4求出g(A)，即可得f(A)=g(A).从推导的过程看，似乎不仅最小多项式可用于矩阵函数的计算，一般的零化多项式也可以，其中以特征多项式最为方便。例2.采用新方法计算的函数。（）[解]1；23方程组为4，与Jordan标准形方法完全一致。作业：P1636