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时间:2018-11-12
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1、二、利用零化多项式求解矩阵函数.利用Jordan标准型求解矩阵函数的方法比较复杂,它需要求J和P。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。定律:n阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第n个(也就是最后一个)不变因子。(可参见张远达《线性代数原理》P215)设n阶方阵A的不变因子反向依次为,由它们给出的初等因子分别为;;,由于,故1必定出现在中;2若则根据上述定理,A的最小多项式即令,则可见可以由线性表示,从而亦可由线性表示。所以,矩阵函数f(A)若存在,也必定可由线性表示。因此,我们定义一个系数待定的(
2、m-1)次多项式,根据以上论述,适当选择系数,就可以使f(A)=g(A)又,假设J、P分别为A的Jordan标准形及相应变换矩阵:则,f(J)=g(J)由于g(A)为待定系数的多项式,上面就成为关于的线性方程组。且方程的个数为等于未知数个数,正好可以确定由此给出根据最小多项式求矩阵函数的一般方法。1求出最小多项式;(或者特征多项式)2形式上写出待定多项式(或者)3求解关于的线性方程组(或者)4求出g(A),即可得f(A)=g(A).从推导的过程看,似乎不仅最小多项式可用于矩阵函数的计算,一般零化多项式也可以,其中以
3、特征多项式最为方便。(但的根据仍需充分作证)例2、采用新方法计算的函数。()[解]1;23方程组为4,与Jordan标准形方法完全一致。
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