重庆市永川北山中学校2022-2023学年高二下学期3月月考模拟数学 Word版含解析.docx

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重庆市永川北山中学校高2024级高二下期3月月考数学试题一､单项选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.某学校食堂有5种大荤菜式，8种半荤半素菜式，5种全素菜式，现任意打一种菜，则可以打到的菜式品种有（）A.200种B.33种C.45种D.18种【答案】D【解析】【分析】根据分类加法计数原理求解即可.【详解】任意打一种菜，由分类计数原理可知，有种．故选：D.2.一个质量的物体做直线运动，设运动距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，并且物体的动能，则物体开始运动后第4s时的动能是A.160JB.165JC.170JD.175J【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得物体开始运动后第时速度，进而计算可得答案．【详解】解：根据题意，物体的运动距离与时间的关系式为，则有，物体开始运动后第时速度，物体开始运动后第时的动能；故选：．【点睛】本题考查导数的几何意义，注意求出物体的速度，属于基础题．3.设是可导函数，且，则（） A.B.C.0D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的定义计算即可得出答案.【详解】解：∵，∴.故选：B.4.函数在上的极大值为（）A.B.0C.D.【答案】A【解析】【分析】先算出，然后求出的单调性即可【详解】由可得当时，单调递增当时，单调递减所以函数在上的极大值为故选：A【点睛】本题考查的是利用导数求函数的极值，较简单.5.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】对函数求导，将问题转化为在上恒成立，结合函数 的单调性，计算即可得出结果.【详解】由题意得，的定义域为，，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即，又函数在上单调递减，所以.故选：A6.一只蚂蚁从正四面体的顶点出发，沿着正四面体的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点，第4秒后又回到点的不同爬行路线有（）A.6条B.7条C.8条D.9条【答案】B【解析】【分析】根据已知，可作出树状图，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解.【详解】根据已知，可作出下图，由图知，不同的爬行路线有7条.故选：B【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题.7.已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.【详解】若在上恒成立，则在上恒成立，令（），则，可知当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在内有唯一的极大值点，即最大值点，所以，所以当时，在上恒成立，故选：C．8.已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定不等式构造函数，借助导数确定函数的单调性，再解不等式作答.【详解】令，，因为，则，因此函数在上单调递减，则，解得，所以的解集为.故选：C 二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.）9.下列求导运算错误的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】运用求导公式和求导法则计算即可.【详解】A.，故错误；B.，正确；C.，故错误；D.，故错误.故选：ACD.10.现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（）A.只需1人参加，有16种不同选法B.若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法C.若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法D.若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法【答案】ABC【解析】【分析】根据分类计数原理和分步计数原理依次讨论各选项即可求解.【详解】解：选项A，分三类：取老师有3种选法，取男生有8种选法，取女生有5种选法，故共有种选法，故A正确；选项B，分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，故共有种选法，故B正确；选项C，分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有种选法，故C正确；选项D，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D错误.故选：ABC. 11.已知函数，则（）A.恒成立B.是上的减函数C.在得到极大值D.在区间内只有一个零点【答案】CD【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，由此可判断BC，取可判断A选项的正误，根据函数的单调性及可判断D.【详解】，该函数的定义域为，所以，由，可得，由，可得，所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，，故B选项错误，C选项正确；当时，，此时，A选项错误；由题可知函数在区间内单调递减，而，故在区间内只有一个零点，D选项正确.故选：CD.12.已知曲线在点处的切线为，且与曲线也相切．则（）AB.存在的平行线与曲线相切C.任意，恒成立D.存在实数，使得任意恒成立【答案】AC【解析】 【分析】由得，求出切线，与联立，由可得，由此判断A；由反证法可判断B；构造函数，通过研究其最小值和极限可判断C和D.【详解】对于选项A：由得，所以，则，所以切线的斜率为，所以切线的方程为.又直线也与相切，联立得，由得，故A正确；对于选项B：假设存在与平行的直线与曲线相切于点，则，显然.令（）,则，所以当时，即单调递增，又，所以，即与重合，这与与平行矛盾，故B错误；对于选项C：构造函数（），则，由得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.所以对，即恒成立.故C正确；对于选项D：因为在上单调递增，又时，，所以不存在实数，使得即对任意恒成立.故D错误.故选：AC.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的单调递减区间为_________.【答案】【解析】【详解】分析：首先对函数求导，由导数小于零求出自变量在定义域内的取值范围，即可求得函数的单调递减区间. 详解：，令，求得，所以可知函数的递减区间是.点睛：该题考查是应用导数研究函数的单调性，要明确导数小于零时，函数单调递减，还有必须要明确定义域优先原则，这里对不等式的解法也要熟练掌握.14.如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有___________种．【答案】48【解析】【分析】利用分步计数原理，一个个按照顺序去考虑涂色.【详解】按照分步计数原理，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；所以不同的涂色种数有种．故答案为：4815.已知直线是函数的切线，则的值为______．【答案】【解析】【详解】试题分析：考点：曲线的切线与导数的关系.16.若函数与满足：存在实数，使得，则称函数为的“友导”函数.已知函数为函数的“友导”函数，则的取值范围是 _________．【答案】【解析】【分析】首先求出的导数，由题意可知有解即可，再采用分离参数法可得，令，求的最值即可求得的取值范围.【详解】由可得，函数为函数的“友导”函数，有解，即有解，令，则，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以故答案为：【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了导函数在研究函数单调性中的应用以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知函数.（1）求的导数；（2）求函数的图象在处的切线方程.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算即得；（2）求出，再利用导数的几何意义求出切线方程.【小问1详解】因为函数，所以；【小问2详解】因为，所以函数在处的切线方程为，即.18.已知函数在时取得极值，在点处的切线的斜率为.（1）求的解析式；（2）求在区间上的单调区间和最值.【答案】（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为；，.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据给定条件建立方程组求解并验证作答.（2）利用（1）中信息，利用导数求解函数的单调区间及最值作答.【小问1详解】对函数求导得：，依题意，，解得：，此时，，当时，，当时，，即在时取得极值，所以的解析式是.【小问2详解】 由（1）知，，，，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，则，而，因此，所以在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为，，.19.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若对，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）.【解析】【分析】（1）对函数进行求导、列表、判断函数的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；（2）对进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出的取值范围即可.【详解】（1）函数的定义域为，当时，.由，得.当变化时，，的变化情况如下表-0+单调递减极小值单调递增所以在上单调递减，上单调递增，所以函数的极小值为，无极大值. （2）对，恒成立，即对，恒成立.令，则.由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，因此.所以的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了构造函数法、常变量分离法，考查了数学运算能力和分类讨论思想.20.某型号汽车的刹车距离s(单位：米)与刹车时间t(单位：秒)的关系为，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间，所经过的距离叫做刹车距离.）（1）某人在行驶途中发现前方大约10米处有一障碍物，若此时k=8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒，且不超过2秒，求k的取值范围．【答案】（1）应紧急避让；（2）.【解析】【分析】（1）求汽车的瞬时速度，由，得，计算s即可判断；（2）汽车的瞬时速度为，得，汽车静止时，问题转化为在内有解，分离k求导求最值即可【详解】（1）当时，，这时汽车的瞬时速度为，令，解得（舍）或，当时，，故有撞击障碍物的危险，应紧急避让.（2）汽车的瞬时速度为，所以，汽车静止时，故问题转化为在内有解， 即在内有解，记，，，∴，∴单调递增，∴在区间上的取值范围为，∴，即，故的取值范围为.【点睛】本题考查导数的物理意义及实际应用，考查导数与函数的最值，注意运算的准确是基础题21.已知函数，曲线与在点处有相同的切线.（1）求､的值；（2）证明：.【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义结合条件可得，，再求出的值；（2）由题即证，构造函数利用导数求函数的最值即可.【小问1详解】因函数，，所以，，由曲线与在点处有相同的切线，得，，即，，所以，；【小问2详解】由，可得， 因为，所以原问题即证.令，则，由，可得，由，可得，所以的单调递减区间为，单调递减区间为，故在处取得极小值，也是的最小值，所以，故.22.已知函数.（1）讨论的最值；（2）设，若恰有个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）首先求导得到，再分类讨论求解函数的最值即可.（2）首先函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，从而得到恰有个不等的实根，设，则，得到有两个解，再设令，利用单调性和最值求解即可.【小问1详解】由题得，，当时，，在上单调递减，故无最值当时，令，得，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，故在处取得唯一的极小值，即为最小值，即，综上所述，当时，无最值当时，的最小值为，无最大值.【小问2详解】，函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，即恰有个不等的实根，设，则，，单调递增，有两个解，即有两个解令，则，当时，，单调递增当时，，单调递减，又时，，且，，当时，，当时，仅有一个零点，的取值范围为.