重庆市永川北山中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学 Word版含解析.docx

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重庆市永川北山中学校高2024级高二下期3月月考数学试题考试时间：120分钟【注意事项】1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合，，定义，则中元素的个数为（　　）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】【分析】用列举法表示出集合，即可得到结论.【详解】因为集合，，定义,所以.一共6个元素.故选：D2.一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（）A2B.1C.D.6【答案】B【解析】【分析】根据平均速度的定义有，结合已知函数模型求参数m即可.【详解】由已知，得， ∴，解得，故选：B．3.设函数可导，则等于（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用导数的定义即可得出.【详解】．故选：C【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于基础题.4.函数的最小值是（）A.B.C.D.不存在【答案】C【解析】【分析】函数求导，判断单调性，求得最小值得解.【详解】由题意得，.令，得.当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得极小值也是最小值，且最小值为.故选：C.【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律：(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间上有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数在区间 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．5.算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）A.8B.10C.15D.16【答案】A【解析】【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果计算得解.【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，由分类加法计数原理得共有8种方法，所以表示不同整数的个数为8.故选：A6.函数在区间上是单调减函数，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据导函数的正负即可求解.【详解】函数在区间上是单调减函数，则在区间上恒成立，所以，故选：B．7.某放射性同位素在衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该同位素的含量.已知时，该同位素含量的瞬时变化率为，则（） A.24贝克B.贝克C.1贝克D.贝克【答案】B【解析】【分析】先求出，然后利用，求出，再求解即可.详解】由，得，因为时，该同位素含量的时变化率为，所以，解得，所以.故选：B.8.若函数在R上可导，且，则当时，下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数、，利用导数判断单调性再比较大小可得答案.【详解】令，则，由于的正负不确定，所以的正负不确定，不能判断的单调性，故AC错误；令，由，则，所以为R上的单调递减函数，因为，所以，即，故B错误D正确；故选：D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分．）9.下列求导运算错误的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据求导公式以及求导法则即可结合选项逐一求解.【详解】A．，正确；B．，错误；C．，错误；D．，错误．故选:BCD．10.下列说法正确的有（）A.某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有12种B.某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有42种C.某市地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有36种D.在一次运动会上有四项比赛，它们的冠军在甲、乙、丙三人中产生，每项比赛冠军只有一人，那么不同的夺冠情况共有64种【答案】AC【解析】【分析】根据排列组合的方法逐项计算即可.【详解】A：某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，则有种选法，故A正确；B：某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，则有种选法，故B错误；C：某市地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有种，故C正确； D：在一次运动会上有四项比赛，它们的冠军在甲、乙、丙三人中产生，每项比赛冠军只有一人，那么不同的夺冠情况共有种情况，故D错误.故选：AC.11.已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论正确的有（）A.函数的极大值点有个B.函数在上是减函数C.若时，最大值是，则的最大值为4D.当时，函数有个零点【答案】ABD【解析】【分析】利用导函数的图象可判断A、B选项的正误；取，结合函数的最值与单调性的关系可判断C选项的正误；作出函数的草图，数形结合可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为、，B选项正确；函数有个极大值点，A选项正确；当时，函数最大值是，而最大值不是，C选项错误；作出函数的图象如下图所示，由下图可知，当时，函数与函数 的图象有四个交点，D选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查导数和原函数之间的关系，由图象判断零点个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.设函数，，下列命题正确的是（）A.若函数有两个零点，则，B.若恒成立，则C.若，，时，总有恒成立等价于D.，恒成立．【答案】AC【解析】【分析】利用导数求函数的最大值，结合变化趋势考察与的关系可判断AB；构造函数，将问题转化为导数在大于等于0恒成立问题，然后利用导数求其最值可判断C；取，然后使用放缩法可判断D.【详解】，当时，，当时，，故时，有最大值，又时，,且越大时，趋近于0，要使函数有两个零点，则，故A正确，B错误；若，，时，总有恒成立等价于函数 在上单调递增，等价于在区间上恒成立，令，则，当时，，所以当时，成立，当，时，，此时，不满足题意，故C正确；记，则，因为，，所以，故在区间上存在使得，故D错误.故选：AC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的单调递增区间是_____．【答案】【解析】【详解】试题分析：因为，所以单调递增区间是考点：导数应用14.函数在处的切线与直线垂直，则实数的值为______．【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义求斜率，再根据两条直线垂直求参数.【详解】因为，，所以在处的切线的斜率为3，因为切线与直线互相垂直，，所以，解得．故答案为：15. 回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联:“客上天然居，居然天上客;人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为:“回文数”.如44，585，2662等，那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为_______.【答案】【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，②4位“回文数”中有2个不同的数字，求出每种情况下4位“回文数”的数目，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，有6种情况，即此时有6个4位“回文数”；②4位“回文数”中有2个不同的数字，有种情况，即此时有30个4位“回文数”；则一共有个4位“回文数”；故答案为：．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，关键是理解“回文数”的定义，属于基础题．16.若函数与满足：存在实数，使得，则称函数为的“友导”函数.已知函数为函数的“友导”函数，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】首先求出的导数，由题意可知有解即可，再采用分离参数法可得，令，求的最值即可求得的取值范围.【详解】由可得，函数为函数的“友导”函数，有解，即有解，令，则，令，则， 令，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以故答案为：【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了导函数在研究函数单调性中的应用以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知函数.（1）求的导数；（2）求函数的图象在点处的切线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算作答.(2)求出，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【小问1详解】函数定义域为，所以函数.【小问2详解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函数的图象在点处的切线方程是.18.已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值． （1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值为8，最小值为．【解析】【分析】（1）由题意可得从而可求出，即可求出的解析式，（2）令，求出的值，列表可得的值随的变化情况，从而可求出函数的最值【小问1详解】由题意可得，．由解得经检验得时，有极大值．所以．【小问2详解】由（1）知，．令，得，，，的值随的变化情况如下表：200单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值388由表可知在上的最大值为8，最小值为． 19.已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数．（1）当时，求的极值；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数k取值范围．【答案】（1）极小值为0，无极大值（2）【解析】【分析】（1）求导，即可得函数的单调性，进而可由极值点定义求解，（2）构造函数，利用导数求解最值即可.【小问1详解】当时，，∴，由得，故的单调递增区间为；由得，故的单调递减区间为；所以函数有极小值为，无极大值．【小问2详解】当时，不等式化简为，令，则；令得，∴在上单调递减，在上单调递增；因为，所以，又，所以．20.已知函数．（1）若，求函数的图象在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数有零点，求实数a的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求导得切点处的导数值，由点斜式求解切线方程，即可求解面积，（2）利用导数求解函数的单调性，即可求解最值点，利用即可求解.【小问1详解】，则，，切点坐标为，，则切线斜率，∴函数在处的切线方程是，即，故与两坐标轴围成的三角形的面积为：．【小问2详解】函数的定义域为，由，得，因为，则时，；时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当，即时，又，则函数有零点，所以实数a的取值范围为．21.新冠疫情爆发后，某企业利用部分人工转产口罩.每生产万件(每件5个口罩)，需投入固定成本5万元，流动成本万元，当月产量小于7万件时，(万元)；当月产量不小于7万件时，(万元).口罩销售价为6元/件，且生产的口罩能全部售出.（1）写出月利润(万元)关于月产量(万件)的函数解析式；(注：月利润月销售收入固定成本流动成本) （2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）；（2）当月产量约为万件时，所获月利润最大，最大利润为8万元.【解析】【分析】（1）根据月利润等于销售额减去投入总成本减去固定成本，分时和两种情况，得到关于的分段函数关系式；（2）当时，根据二次函数求最大值的方法求的最大值，当时，根据函数的单调性求最大值，最后比较取最大的即可.【详解】（1）口罩销售价为6元/件，则万件口罩销售收入为万元.依题意得，当时，，当时，，∴，（2）当时，，∴当时，的最大值为(万元)，当时，，∴，∴当时，单调递增，当，单调递减，∴当时，取最大值(万元)，∵，∴当时，取得最大值8万元，当月产量约为万件时，所获月利润最大，最大利润为8万元. 【点睛】本题主要考查了根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及利用函数的单调性求最值的能力，属于中档题.22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明不等式恒成立.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数导数，讨论范围结合导数即可得出单调性；（2）构造函数，利用导数可得在上有唯一实数根，且，则可得，即得证.【详解】（1），当时，，所以在上单调递增；当时，令，得到，所以当时，，单调递增，当，，单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）设函数，则，可知在上单调递增.又由，知，在上有唯一实数根，且，则，即.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，结合，知， 所以，则，