上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学 Word版含解析.docx

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华二附中高一年级月考数学试卷一、填空题（本大题满分40分，本大题共有10题，只要求直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）1.的终边与的终边关于直线对称，则的取值集合为________．【答案】【解析】【分析】由题知的终边与角的终边相同，再根据终边相同的角的集合求解即可.【详解】解：的终边与的终边关于直线对称，所以的终边与角的终边相同，所以的取值集合为故答案为：2.已知扇形的圆心角为1，半径为2，则该扇形的面积为______.【答案】.【解析】【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】由扇形的面积公式可得该扇形的面积为，故答案为：.3.若是角终边上的一点，且，则实数的值为________．【答案】【解析】【分析】由三角函数定义得，进而解方程即可得答案. 【详解】解：根据三角函数的终边上点的定义，，所以，即且，所以故答案为：4.化简:____________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式与切弦互化,化简即可详解】由题,故答案为【点睛】本题考查利用诱导公式化简,考查切弦互化,属于基础题5.若等式有意义，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】分析】根据题意结合辅助角公式得，进而得，再解不等式即可得答案.【详解】解：由得，设，则，所以，即， 因为，所以，所以，即，解得或.所以实数的取值范围为故答案为：6.已知、，且，则________．【答案】##【解析】【分析】将条件变形为，利用两角和的正切公式可得，在根据，可得的值.【详解】解：由得：，又，，则，.故答案为：7.已知是第三象限的角，且，则______.【答案】【解析】【分析】首先由的范围确定的取值范围，利用正弦函数的二倍角公式对变形即可得到，最后由的范围确定出的最终取值【详解】， ，解得或，又，，故答案为【点睛】本题考查二倍角公式与同角三角函数基本关系在三角函数化简求值中的应用，是基础题8.设是定义在R上的函数，满足，则函数__________.【答案】【解析】【详解】注意到，故，从而，.故答案为9.在中，已知．则______．【答案】【解析】【详解】由三角万能公式得．解得或．又由、、为的三个内角知，， ．故．因此，．10.在中，，则____________.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理化简，得到；由题意，在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，找出A﹣B，设BD＝x，在△ADC中两次利用余弦定理将cos（A﹣B）及cosC表示出，分别求出x建立关于a，b的方程，化简变形后利用整体换元求出答案．【详解】由题意知，4cosC，∴由余弦定理得，4，化简可得＝2，则,又中不妨设a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，设BD＝x，则AD＝x，DC＝a﹣x，AC＝b，在△ADC中，cos∠DAC＝cos（A﹣B），由余弦定理得：（a﹣x）2＝x2+b2﹣2x•b•，即：(b﹣6a)x＝，解得：x＝．①又在△ADC中，由余弦定理还可得cosC，∴cosC，化简得x＝，② 由①②可得，又＝2，联立可得=,即=,两边同时除以，得=+6，令，则12，解得t=或，又由题意，∴t=cosC=，故答案为.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查了运算化简的技巧，考查利用几何图形解决问题的能力，属于难题．二、选择题（本大题满分16分，本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得4分，否则一律得零分．）11.“”是“，”的（）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】由得，再根据必要条件，充分条件的定义判断即可.【详解】解：当时，，，反之，当，时，，所以“”是“，”的必要不充分条件.故选：B12.已知，则的值为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将条件中的式子展开得到，将所求的式子展开化简后，代入已知条件，得到答案.【详解】因为，所以即而所求的故选C.【点睛】本题考查两角差的余弦公式，属于简单题.13.设的内角、、的对边长分别为、、，且，则的值（）A.2B.4C.6D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理及三角形内角和关系，化简得，从而； 【详解】解：在中，由正弦定理及可得即，则；故选：B14.在平面上，已知定点，动点，当在区间上变化时，动线段所成图形的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出图形，确定点的轨迹图形，结合图象可求得线段所形成图形的面积.【详解】解：因为，所以点在单位圆上，由于，，所以，是其与轴正方向有向角为，，则，记点，，所以，点的轨迹是劣弧，所以，动线段所形成图形为阴影部分区域， 因为，因此，阴影部分区域的面积为.故选：D.三、解答题（本大题满分44分，本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤）15.已知，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题知，进而结合范围解方程即可得答案；(2)结合（1）得，，再根据降幂公式整理求解即可.【小问1详解】解：因为所以，解得或，又，所以所以．【小问2详解】解：由（1），，所以，所以16.如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求. （1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由；（2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值.【答案】（1）不符合要求，理由详见解析；（2），最小值为.【解析】【分析】（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解，判断是否符合要求，即可．（2），，求出，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．【详解】解：（1）由题意，，，所以所以，不符合要求（2），，所以，， 所以，的最小值为.【点睛】本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.设内角、、的对边长分别为、、．（1）若，求的值；（2）若，判断的形状；（3）若，点在延长线上且，又线段，求的最大值．【答案】（1）（2）等腰三角形（3）【解析】【分析】（1）根据内角和定理，诱导公式，二倍角公式求解即可；（2）结合内角和定理与降幂公式得，再根据范围得，进而得答案；（3）由正弦定理边角互化，并结合余弦定理得，再结合，得，进而得，故，进而得答案.【小问1详解】解：因为，所以，所以所以.【小问2详解】解：因为， 所以，因为，所以，所以，即，因为，所以所以，即.所以为等腰三角形.【小问3详解】解：因为，所以，所以，即，所以，因为，所以.因为点在延长线上且，所以，因为，所以，所以因为，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，所以，即的最大值为，当且仅当时等号成立.18.已知、．（1）若角、的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，求； （2）若，求的值；（3）若、都是锐角，，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题知，，进而根据范围，结合求解即可；（2）由题知，再结合代换解方程得，进而根据求解即可；（3）结合题意，先证明，再结合辅助角公式，三角函数的性质求解即可.【小问1详解】解：，角的终边与单位圆交点的横坐标是，所以，，所以，因为角的终边与单位圆交点的纵坐标是，所以，所以，所以，所以；【小问2详解】解：因为，所以，因为， 所以，因为，所以，所以，所以；【小问3详解】解：显然，当时，成立，下面证明：.因为，所以，假设，则，因为、都是锐角，所以，，若，则，所以，即，矛盾；若，则，所以，即，矛盾；所以假设不成立，即，所以，因为，所以，所以，即，所以的范围是.