江苏省泰州市2023-2024学年高一上学期1月期末考试 数学 Word版含解析.docx

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2023~2024学年度高一第一学期期末调研测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.2.命题“存在，”否定为（）A.存在，B.存在，C.任意，D.任意，3若角终边经过点，则A.B.C.D.4.已知是定义域为的奇函数，当时，，则（）A.B.C.4D.125.函数的减区间为（）A.B.C.D.6.可以用尺规作图画出正五角星，作法如下：以任意一点为圆心，以1为半径画圆，在圆内作互相垂直的直径和.取线段的中点，以为圆心，以为半径作弧，交于.以为圆心，以为半径在圆上依次截取相等的圆弧，连接，，，，，得到如图所示的正五角星，则图中扇形的面积为（） A.B.C.D.7.已知函数，，则（）A.B.C.D.8.已知，，则（）A.2B.3C.4D.5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于点中心对称D.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象10.已知正数，满足，则（）A.B.C.D.11.已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（）A.B.C.D.12.已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（）A.的值为2B.C.若，则D.若，则 三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知幂函数的图象过点，则实数______.14.已知，则______.15.已知二次函数的部分对应值如下：1246014则关于的不等式的解集为______.16.设是正整数，集合.当，集合有______个元素；若集合有100个元素，则______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式值：（1）；（2）.18.设集合，.（1）当时，求；（2）若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围.19.已知函数，.（1）当时，求在上的值域；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.20.已知函数，正数，满足，（1）求的取值范围；（2）求的最小值. 21.已知函数.（1）判断在上的单调性，并证明；（2）若，且，，都正数，求证：.22.已知偶函数和奇函数满足，为自然对数的底数.（1）从“①；②”两个条件中选一个合适的条件，使得函数与的图象在区间上有公共点，并说明理由；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围 2023~2024学年度第一学期高一期末调研测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接由交集的概念即可得解.【详解】由题意集合，，则.故选：B.2.命题“存在，”的否定为（）A.存在，B.存在，C.任意，D.任意，【答案】D【解析】【分析】由命题的否定的定义即可得解.【详解】由题意命题“存在，”的否定为任意，.故选：D.3.若角终边经过点，则AB.C.D.【答案】B【解析】【详解】分析：利用三角函数的定义，即可求出.详解：角终边经过点，则 由余弦函数的定义可得故选B.点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题.4.已知是定义域为的奇函数，当时，，则（）A.B.C.4D.12【答案】C【解析】【分析】由奇函数的性质代入求值即可.【详解】由题意是定义域为的奇函数，当时，，所以.故选：C.5.函数的减区间为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意根据复合函数单调性、二次函数以及对数函数单调性即可得解.【详解】由题意在定义域内单调递增，若要单调递减，只需关于单调递减，所以函数的减区间为.故选：B.6.可以用尺规作图画出正五角星，作法如下：以任意一点为圆心，以1为半径画圆，在圆内作互相垂直的直径和.取线段的中点，以为圆心，以为半径作弧，交于.以为圆心，以为半径在圆上依次截取相等的圆弧，连接，，，，，得到如图所示的正五角星，则图中扇形的面积为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】如图，连接OG，OM，OH，则，由得，结合扇形的面积公式计算即可求解.【详解】如图，连接OG，OM，OH，则，又，所以，化为弧度为，所以扇形的面积为.故选：A.7.已知函数，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意得，结合诱导公式以及平方关系即可得解. 【详解】由题意，所以，所以.故选：C.8.已知，，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】由题意结合对数运算性质运算即可得解.【详解】由题意，所以，所以.故选：D.【点睛】关键点睛：关键是都对已知等式两边同时取以6为底的对数，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于点中心对称D.将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象【答案】AC【解析】【分析】对于A，由周期公式验算即可；对于BC，由代入检验法即可判断；对于D ，由平移变换法则验算即可.【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A正确；对于B，，故函数的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，，故函数的图象关于点中心对称，故C正确；对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故D错误.故选：AC.10.已知正数，满足，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由不等式的性质结合逐一判断每一个选项即可.【详解】对于A，由题意，所以，故A正确；对于B，，因为，所以，所以，故B正确；对于C，令，则，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】 【分析】分别求出值域，根据值域的并集为建立不等式，逐项判断即可.【详解】当时，单调递增，其值域为，当时，单调递增，其值域为，由题意的值域为，所以，所以，记，且，在一个坐标系内作出函数图象，如图：因为，所以，又因为，所以，所以，要使，则，因为，所以，因为，所以，所以，结合选项可知，实数的值可以是，.故选：BD12.已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（） A.的值为2B.C.若，则D.若，则【答案】ABC【解析】分析】对于A，令，结合“若，则”即可判断；对于B，由基本不等式相关推理结合即可判断；对于C，令得，，由此即可判断；对于D，令，即可判断.【详解】对于A，令，得，解得或，若，令，得，即，但这与②若，则矛盾，所以只能，故A正确；对于B，令，结合得，，解得或，又，所以，所以只能，故B正确；对于C，若，令得，，所以，所以，所以，故C正确；对于D，取，则且单调递增，满足，但，故D错误.故选：ABC. 【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是构造，由此即可证伪.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知幂函数的图象过点，则实数______.【答案】【解析】【分析】直接代入坐标即可求解.【详解】由题意，所以.故答案为：.14.已知，则______.【答案】【解析】【分析】由商数关系切弦互换即可求解.【详解】由题意有.故答案为：.15.已知二次函数的部分对应值如下：1246014则关于的不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】利用已知条件求出具体二次函数，再解不等式即可.【详解】由已知得必过,代入函数中得，，，解得，，，故，令，解得， 即关于的不等式的解集为.故答案为：16.设是正整数，集合.当，集合有______个元素；若集合有100个元素，则______.【答案】①.2②.198或199【解析】【分析】第一空：当，，由此即可得解；第二空：原问题等价于单位圆盘等分后，相应横坐标的所有可能数与的对应关系，值得注意的是考虑上半圆盘以及即可.【详解】由题意当，，周期为，所以，经过去重得此时，即此时集合有2个元素；原问题等价于单位圆盘等分后，相应横坐标的所有可能数与的对应关系，由对称性可知，只需考虑上半圆盘以及，所以如果集合有100个元素，即相应横坐标的所有可能数为100，则可能是，和上半圆盘与下半圆盘各99个点的横坐标（它们关于轴对称），即此时，还有一种可能：即和，以及上半圆盘与下半圆盘各98个点的横坐标（它们关于轴对称），也就是，综上所述，若集合有100个元素，则或.故答案为：2；198或199.【点睛】关键点睛：第二空的关键是研究单位圆盘等分后，相应横坐标的所有可能数与的对应关系，由此即可顺利得解.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值： （1）；（2）.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）直接由分数指数幂的运算即可得解.（2）直接由对数运算性质即可得解.【小问1详解】.【小问2详解】.18.设集合，.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解对数不等式得到，根据并集概念求出答案；（2）根据必要不充分条件得到⫋，从而得到不等式，求出，得到答案.【小问1详解】时，，解得，故，，故；【小问2详解】 ，，解得，故，因为“”是“”的必要不充分条件，所以⫋，故，解得，故实数的取值范围是.19.已知函数，.（1）当时，求在上的值域；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得，由此即可得解.（2）由题意得在上单调递增，由此列出不等式即可得解.【小问1详解】由题意当时，，若，则，所以在上的值域为.【小问2详解】由题意，所以时，，且关于单调递增，若在上单调递增，则由复合函数单调性可知在上单调递增， 所以，解得，即取值范围为.20.已知函数，正数，满足，（1）求的取值范围；（2）求最小值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）先利用基本不等式求出，然后利用对数函数单调性求解范围即可；（2）先利用基本不等式求解的最小值，然后利用对数函数单调性求解最小值即可.【小问1详解】因为正数，满足，所以，所以，当且仅当时等号成立，又函数在定义域上单调递增，所以，即的取值范围为；【小问2详解】，因为，当且仅当，即或时，等号成立， 所以，即的最小值为4.21.已知函数.（1）判断在上的单调性，并证明；（2）若，且，，都为正数，求证：.【答案】（1）在上单调递增，证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法以及分解因式，可得答案；（2）利用分类讨论的解题思想，结合基本不等式以及函数单调性与奇偶性，可得答案.【小问1详解】在上单调递增，证明如下：任取，设，，由，则，故，所以在上单调递增.【小问2详解】 当都是正数时，，当目仅当时等号成立，则；当中只有一个负数时，不妨设，则，且，由，则，由，则，则，，当且仅当时，等号成立，则，，当中有两个负数或三个都是负数时，不合题意.故得证.22.已知偶函数和奇函数满足，为自然对数的底数.（1）从“①；②”两个条件中选一个合适的条件，使得函数与的图象在区间上有公共点，并说明理由；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】22.①不满足题意，②满足题意，理由见解析23.【解析】【分析】（1）首先得出，结合基本不等式，以及零点存在定理即可进一步求解.（2）由题意首先通过换元得出恒成立，分析得知 ，进一步解不等式组即可得解.【小问1详解】由题意，解得，①令，有，等号成立当且仅当，而此时，所以此时恒成立，即函数与的图象在区间上没有公共点，不满足题意；②令，则，，即，且此时的图象连续不断，所以由零点存在定理可知此时存在零点，即此时函数与的图象在区间上有公共点，满足题意.【小问2详解】由题意关于的不等式恒成立，首先显然有，其次有恒成立，所以恒成立，令，因为，所以，所以恒成立，即恒成立，所以恒成立，即 恒成立，因为，若，则，此时不等式变为了恒成立，这显然不可能成立，所以，即，所以，所以，即，解得，即数的取值范围为.【点睛】关键点睛：第二问的关键是通过换元得出（一元二次）不等式恒成立，所以，当然这也要求有一定的计算能力，由此即可顺利得解.