江苏省常州市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 Word版含解析.docx

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2023-2024学年江苏省常州市高一（上）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.cos840°=(    )A.32B.12C.−32D.−122.设全集U=R，集合M={x|x2−2x−3≤0}，N={x|x>1}，则{x|1yB.x=yC.x0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则(    )A.01C.−10，|φ|<π)恰能满足下列4个条件中的3个：①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)的图象经过点(0,32)；③函数f(x)的图象关于点(5π12,1)对称；④函数f(x)的图象关于直线x=−π6对称．则这3个条件的序号可以是(    )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数f(x)=(−x)12,x≤0lgx,x>0，则f(f(0.01))=______．14.已知α为第二象限角，且满足sinα+cosα=−713，则tanα=______．15.已知在△ABC中，AB=AC=25，BC=40，若△ABC的内接矩形的一边在BC边上，则该内接矩形的面积的最大值为______．16.设f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，若f(x)+g(x)=2x，则曲线y=f(x)g(x)与曲线y=sinx在区间[−2024π,2024π]上的公共点个数为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)(1)计算：3log32+(0.125)−23−0.25×(−12)−4；(2)已知3x=5y=15，计算1x+1y的值并证明xy>4．18.(本小题12分)设集合A={x|x+1x>103,x∈R}，集合B={x||2x−1|<1,x∈R}，集合I=(∁RA)∩B．(1)求I；(2) 当x∈I时，求函数f(x)=log3x4x−1的值域．19.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P(1,m)，且cosα=−510m．(1)求m的值；(2)求sin(α+π2)⋅tan(π−α)⋅sin(α+3π2)cos(−α)的值．20.(本小题12分)已知函数f(x)=(2x−2tanθ)(2x−tanθ)，其中x∈R，θ∈(−π2,π2)．(1)当θ=π4时，求f(x)在区间[0,3]上的最值及取最值时x的值；(2)若f(x)的最小值为−34，求θ．21.(本小题12分)已知结论：设函数f(x)的定义域为R，a，b∈R，若f(a+x)+f(a−x)=2b对x∈R恒成立，则f(x)的图象关于点(a,b)中心对称，反之亦然.特别地，当a=b=0时，f(x)的图象关于原点对称，此时f(x)为奇函数.设函数g(x)=2e2x+1．(1)判断g(x)在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明；(2)计算g(x)+g(−x)的值，并根据结论写出函数g(x)的图象的对称中心；(3)若不等式g(m−1x)+g(−4x)≥2对x>0恒成立，求实数m的最大值．22.(本小题12分)已知f(x)=ln(x2+1−x)+ax2，g(x)=a(cosx+1)，a∈R．(1)若f(x)为奇函数，求a的值，并解方程f(tanx)=−ln32；(2)解关于x的不等式f(sinx)+f(cos(x+π2))≤g(x)． 答案和解析1.【答案】D 【解析】解：cos840°=cos(2×360°+180°−60°)=−cos60°=−12．故选：D．利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解．本题考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．2.【答案】B 【解析】解：因为M={x|x2−2x−3≤0}={x|−1≤x≤3}，N={x|x>1}，则{x|10，b>0，m>0，且a0，所以x>y，A项符合题意．故选：A．根据题意通过作差比较大小，得出x、y的大小关系，从而判断出正确答案．本题主要考查不等式的基本性质、利用作差比较两个实数的大小等知识，属于基础题．6.【答案】C 【解析】解：f(x)=ex(ex−3)，f′(x)=ex(ex−3)+ex⋅ex=2ex(ex−32)，令f′(x)=0，解得x=ln32，∴函数f(x)在(−∞,ln32)上单调递减，在(ln32,+∞)上单调递增．∴“函数f(x)=ex(ex−3)在区间[m,+∞)上单调递增”的充要条件是m≥ln32．故选：C．利用导数研究函数的单调性即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】B 【解析】解：将正弦曲线y=sinx向左平移π6个单位得到曲线C1：y=sin(x+π6)的图象；再将曲线C1上的每一点的横坐标变为原来的12得到曲线C2：y=sin(2x+π6)的图象；最后将曲线C2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C3：y=2sin(2x+π6)的图象．由于曲线C3恰好是函数f(x)=2sin(2x+π6)的图象．在区间[0,π2]上，2x+π6∈[π6,7π6]，sin(2x+π6)∈[−12,1]，2sin(2x+π6)∈[−1,2]．故f(x)在区间[0,π2]上的值域是[−1,2]．故选：B．由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ) 的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．8.【答案】D 【解析】解：令u(x)=12x−a在[−2,0]单调递减，所以u的最小值为u(0)=1−a>0，可得a<1，且u(x)∈[1−a,4−a]，所以g(u)=log2u在[−2,0]单调递减，所以g(u)∈[log2(1−a),log2(4−a)]，因为存在x1，x2∈[−2,0]，满足|f(x1)−f(x2)|≥3，则f(x)max−f(x)min≥3，所以g(u)max−g(u)min=log2(4−a)−log2(1−a)=log24−a1−a，由题意可得log24−a1−a≥3，解得47≤a<1．故选：D．由已知结合函数的单调性可求f(x)的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．本题主要考查了对数的运算性质及对数函数的性质在函数值域求解中的应用，属于中档题．9.【答案】BD 【解析】解：∵函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的图象在第一、三、四象限，∴根据图象的性质可得：a>1，a0+b<0，即a>1，b<−1．故选：BD．根据图象的性质可得：a>1，a0+b<0，即可求解．本题考查了指数函数的性质，图象的运用，属于基础题．10.【答案】BCD 【解析】解：对于A，幂函数y=x−3在(0,+∞)上单调递减，所以0.2−3>0.3−3>0.4−3，故A错误；对于B，指数函数y=0.8x在(−∞,+∞)上单调递减，0.81.1<0.80.9<0.80.7，故B正确；对于C，对数函数y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减，log0.250，则f(f(0.01))=f(−2)=2．故答案为：2．将x的值依次代入解析式，即可求解．本题主要考查函数的值，是基础题．14.【答案】−512 【解析】解：∵sinα+cosα=−713，∴两边平方，可得1+2cosαsinα=49169，∴2cosαsinα=−120169，∴(cosα−sinα)2=289169，∵α为第二象限角，∴cosα−sinα=−1713，∴cosα=−1213，sinα=513，∴tanα=sinαcosα=−512．故答案为：−512．利用同角三角函数的平方关系，结合α为第二象限角，可得cosα−sinα=−1713，从而可求cosα，sinα的值，利用商数关系，即可得出结论．本题考查同角三角函数的平方关系，商数关系，考查学生的计算能力，属于中档题．15.【答案】100  【解析】解：设矩形与AB、AC分别交于点E、F，与B C交于点G、H，且GH=x，那么EG=FH=y，根据题意，得y=f(x)=20−25x，矩形的面积为S=xy=x(20−25x)=−25(x−25)2+100，当x=25时，S取得最大值100．故答案为：100．结合三角形的内接矩形的性质，以及二次函数的最值问题．本题主要考查了二次函数的性质在最值求解中的应用，属于基础题．16.【答案】4047 【解析】解：因为f(x)+g(x)=2x①，所以f(−x)+g(−x)=2−x，又因为f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，故−f(x)+g(x)=2−x②，由①②可知，f(x)=2x−2−x2，g(x)=2x+2−x2，y=f(x)g(x)=2x−2−x2x+2−x=4x−14x+1=1−24x+1为奇函数，图象关于原点对称，当x→+∞，y→1，且y<1，sinx最大值为1，如图，曲线y=f(x)g(x)与曲线y=sinx在区间[−2024π,2024π]上的公共点个数为1011×2×2+3=4047个．故答案为：4047．根据函数的奇偶性确定y的解析式，根据其对称性，图象变化特点可判断．本题考查函数的图象交点个数问题，属于中档题．17.【答案】解：(1)3log32+(0.125)−23−0.25×(−12)−4=2+823−14×(−2)4=2+4−4=2；(2)因为3x=5y=15，所以x=log315，y=log515，1x+1y=log153+log155=log1515=1，因为1=1x+1y， 所以xy=x+y，x>0，y>0，x≠y，所以xy=x+y>2xy，即xy>4， 【解析】(1)结合指数幂的运算性质即可求解；(2)结合指数与对数的转化及对数的换底公式可求1x+1y，然后结合基本不等式即可求证．本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为A={x|x+1x>103,x∈R}={x|x>3或0x2，则e2x1+1>e2x2+1>0，所以21+e2x1<21+e2x2，即g(x1)0恒成立，即ℎ(m−1x)+ℎ(−4x)≥0，即ℎ(m−1x)≥−ℎ(−4x)=ℎ(4x)，所以m−1x≤4x，即m≤4x+1x在x>0时恒成立， 因为4x+1x≥24x⋅1x=4，当且仅当4x=1x，即x=12时取等号，所以m≤4，即m的最大值为4． 【解析】(1)任取x1>x2，然后比较g(x1)与g(x2)的大小即可判断函数的单调性；(2)由已知直接求解g(−x)+g(x)即可求解，进而可求函数图象的对称中心；(3)结合函数的单调性及奇偶性及不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及单调性的判断，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题．22.【答案】解：(1)f(x)=ln(x2+1−x)+ax2的定义域为R，若f(x)为奇函数，则f(−1)+f(1)=ln(2+1)+ln(2−1)+2a=ln1+2a=0，解得a=0，故f(x)=ln(x2+1−x)，又y=x2+1与y=−x在[0,+∞)上均为增函数，故奇函数f(x)在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在R上为增函数，又f(tanx)=−ln32=−ln3=ln33，所以tanx=33，解得x=kπ+π6(k∈Z)；(2)因为g(x)=a(cosx+1)，a∈R.y=ln(x2+1−x)为奇函数，cos(x+π2)=−sinx，所以关于x的不等式f(sinx)+f(cos(x+π2))≤g(x).可转化为2asin2x≤a(cosx+1)，a∈R．即a(2−2cos2x−cosx−1)≤0⇔a(cosx+1)(2cosx−1)≥0，①当a=0时，x∈R；②当a<0时，x=2kπ+π或2kπ+π3≤x≤5π3+2kπ(k∈Z)；③当a>0时，x=2kπ+π或2kπ−π3≤x≤π3+2kπ(k∈Z)；综上，当a=0时，原不等式的解集为R；当a<0时，原不等式的解集为{x|=2kπ+π或2kπ+π3≤x≤5π3+2kπ(k∈Z)}；当a>0时，原不等式的解集为{x|=2kπ+π或2kπ−π3≤x≤π3+2kπ(k∈Z)}．