重庆市 2023-2024学年高一上学期期中数学 Word版含解析.docx

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高2026届高一(上)期中考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后,请将答题卡交回,试卷自行保存.满分150分,考试用时120分钟.一、单选题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合,由此求得.【详解】由解得,所以,所以.故选:A2.下列函数是偶函数且在上单调递增的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性来确定正确答案.【详解】A选项,的定义域为,是非奇非偶函数,A选项错误.B选项,的定义域为, ,所以不是偶函数,B选项错误.C选项,的定义域为,,所以不是偶函数,C选项错误.D选项,的定义域为,,是偶函数,当时,所以在上单调递增,D选项正确.故选:D3.已知函数在区间上的值域是,则区间可能是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合选项,根据二次函数的性质求解判断.【详解】函数对称轴为,当时,当时,当时,值域为,故A错误;当时,当时,当时,值域为,故B正确;当时,当时,当时,值域为,故C错误;当时,当时,当时,值域为,故D错误.故选:B.4.设,,均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对数运算对选项进行分析,从而确定正确答案. 【详解】A选项,,所以A选项错误.BD选项,由于,所以B选项错误,D选项正确.C选项,不妨设,则,此时,所以C选项错误故选:D5.函数的图象可能是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据的定义域即可判断.【详解】由于,得,所以的定义域是,由此排除ABD选项,所以正确的选项为C.故选:C.6.设定义在上函数满足为偶函数,为奇函数,,则()A.B.0C.1D.3【答案】C【解析】【分析】先根据为奇函数和为偶函数得出对称轴及对称中心,再化简得出周期,最后应用已知函数值即可求解. 【详解】偶函数,,为奇函数,,,,,.故选:C.7.已知,,则是的()条件A.充分不必要B.充分必要C.必要不充分D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质及充分条件必要条件的概念判断.【详解】若,当时,有,当时,有,故,充分性成立,若,取,则,必要性不成立,故是的充分不必要条件.故选:A.8.已知函数在上单调递增,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令,利用复合函数的单调性,结合指数函数与二次函数的单调性求解即可.【详解】令,则,当时,单调递增,且,当时,,当时单调递增, 则函数在上单调递增,符合题意;当时,的对称轴为,由题意,当时,表示开口向下的抛物线,对称轴为,在上单调递减,不符合题意,综上,.故选:A.二、多项选择题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每个给出的四个选项中,有多项是满足要求的,全部选对得5分,部分选对得2分)9.下列命题为真命题的是()A.若,则B.若,则C.若,,则D.若,,则【答案】AC【解析】【分析】利用特殊值、差比较法、不等式的性质求得正确答案.【详解】A选项,若,而,则,当时等号成立,所以A选项是真命题.B选项,若,如时,,所以B选项是假命题.C选项,,,则,所以,所以C选项是真命题.D选项,若,,取,则,所以D选项是假命题.故选:AC10.下列命题是真命题的是() A.若,则B.若的定义域为,则的定义域为;C.函数是定义在上的单调递增奇函数D.记为实数,的最小值,为实数,的最大值,函数,,,,则的最大值与的最小值的差为4.【答案】AD【解析】【分析】根据函数的单调性、定义域、最值等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】A选项,由得,所以,所以A选项为真命题.B选项,的定义域是,所以,所以的定义域为,所以B选项为假命题.C选项,对于函数,当时,,所以在上单调递减,所以C选项错误.D选项,由解得或, 由于,所以的图象如下图所示,所以的最大值是.由于,所以的图象如下图所示, 所以的最小值为,所以的最大值与的最小值的差为4,D选项正确.故选:AD11.已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数,函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是()A.的对称中心为B关于对称C.的对称中心为D.的图象关于对称【答案】AB【解析】【分析】根据已知条件,结合函数的奇偶性、对称性对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】A选项,,设, 为奇函数,所以的对称中心为,所以A选项正确.B选项,,设,为偶函数,所以关于对称,所以B选项正确.C选项,,设,,所以不是奇函数,所以C选项错误.D选项,,设,,所以不是奇函数,所以D选项错误.故选:AB12.已知实数,满足,则下列结论正确的是()A.的最大值为B.的最大值为2C.的最小值为D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】对于选项ABC,利用基本不等式求解判断;对于选项D,令,代入,利用判别式求解判断.【详解】对于选项AB,,则,当且仅当时等号成立, 故的最大值为,故A正确,B错误;对于选项C,,则,当且仅当时等号成立,则,当且仅当时等号成立,故C错误;对于选项D,令,代入,得,当且仅当时,成立,即的最小值为,故D正确.故选:AD.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.命题“,”的否定是__________.【答案】【解析】【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.【详解】命题“,”是存在量词命题,其否定是全称量词命题:.故答案为:14.已知,则的最小值为__________.【答案】【解析】 【分析】先求得的等量关系式,然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】,所以,当且仅当,即时等号成立.故答案为:15.已知某种果蔬的有效保鲜时间(单位:小时)与储藏温度(单位:)近似满足函数关系(,为常数,为自然对数底数),若该果蔬在的保鲜时间为216小时,在的有效保鲜时间为8小时,那么在时,该果蔬的有效保鲜时间大约为__________小时.【答案】【解析】【分析】根据已知条件求得,进而求得正确答案.【详解】依题意,两式相除得,则,所以当时,小时.故答案为:16.已知函数设,若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】分段讨论,把恒成立问题转化为函数最值问题,根据二次函数的性质及基本不等式求解.【详解】当时,,若恒成立,即恒成立, 即恒成立,∵,当时取等号,,当时取等号,∴;当时,,若恒成立,则恒成立,即恒成立,∵,当且仅当,即时取等号,,当且仅当,即时取等号,∴,综上,,即取值范围是.故答案为:.四、解答题(本大题共6个小题,其中第17题10分,18-22题每道大题12分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.求值(1)(2)已知,,用,表示.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据根式、指数运算求得正确答案.(2)根据对数运算求得正确答案. 【小问1详解】.【小问2详解】,所以18.已知关于的方程有实根,集合.(1)求的取值集合;(2)若,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)分,两种情况讨论,结合判别式求解;(2)若,则,分,两种情况讨论,列出不等式求解即可.【小问1详解】方程有实根,若,该方程无解;若,则,解得或,综上,.【小问2详解】若,则,当时,,符合题意;当时,, ∵,∴或,∴,综上,.19.定义上的函数为奇函数,为偶函数,.(1)求函数、的解析式;(2)判断并证明的单调性.【答案】(1),(2)在区间上单调递减,在区间上单调递增,证明详见解析【解析】【分析】(1)根据函数的奇偶性列方程来求得和的解析式.(2)根据函数单调性的定义以及函数的奇偶性证得的单调性.【小问1详解】依题意,定义上的函数为奇函数,为偶函数,且,则,所以,两式相加得,所以.【小问2详解】在区间上单调递减,在区间上单调递增,证明如下:当时,任取,,其中,所以,所以在区间上单调递增,由于是偶函数,所以在区间上单调递减.20.已知为实数,用表示不超过的最大整数. (1)若函数,求,的值;(2)若存在,使得,则称函数是函数,若函数是函数,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据的定义求得正确答案.(2)根据函数的定义列方程,对进行分类讨论,结合函数的单调性求得的取值范围.【小问1详解】由于,所以.【小问2详解】当时,,则:存在,使得,对于,当时,在上单调递增,所以不存在符合题意的.当时,若或,即或时,在区间上是单调函数,所以不存在符合题意的.所以,即,此时在区间上单调递减,在区间上单调递增,要使“存在,使得”,则需,即,所以,即的取值范围是. 21.已知函数,,,.(1)求的解析式并判断其奇偶性;(2)已知对任意,,都有,求参数的取值范围.【答案】(1),偶函数(2)或【解析】【分析】(1)根据所给定义直接得到函数解析式,再根据奇偶性的定义判断即可;(2)首先求出,依题意可得恒成立,即恒成立,令,则在上恒成立,即可得到或在上恒成立,结合二次函数的性质计算可得.【小问1详解】因为,,所以,则的定义域为,且,所以为偶函数.【小问2详解】因为,令,则,当且仅当时取等号, 令,,所以,,对于,任取,且,则,所以在上单调递增,又在上单调递减,所以在上单调递减,则当时,即当时取得最大值,又,对任意的,,都有,则恒成立,即恒成立,令,,则在上恒成立,所以或在上恒成立,若在上恒成立,因为,即,当且仅当时取等号,所以,若在上恒成立,因为,所以,综上可得或.【点睛】关键点睛:本题第二问关键是将问题转化为恒成立.22.已知定义域为的函数,若存在实数,使得,都存在满足,则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质,是否具有性质,说明理由;(2)若存在唯一实数,使得函数,具有性质,求实数的值.【答案】(1)函数不具有性质,函数具有性质,理由见解析(2)或.【解析】【分析】(1)根据新定义判断证明即可;(2)记函数的值域为,函数的值域,由题意可得,然后对进行分类讨论,结合一次函数与二次函数的性质求解即可.【小问1详解】函数不具有性质.理由如下:对于因为,所以不存在满足,所以函数不具有性质.函数具有性质,理由如下:的值域亦为,故,使得,所以函数具有性质.【小问2详解】记函数的值域为,函数的值域.因为存在唯一的实数,使得函数有性质,即存在唯一的实数,对,使得成立,所以,①当时,,其值域,由得.②当,且时,是增函数, 所以其值域,由得,舍去.③当时,的最大值为,最小值为,所以的值域,由得,舍去,④当时,的最大值为,最小值为,所以的值域,由得或(舍),综上所述,或.

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