重庆市第八中学校2023-2024学年高一上学期期中数学 Word版含解析.docx

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重庆八中2023—2024年度高一年级（上）期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若，则集合P中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据集合和元素的概念进行求解.【详解】集合P中元素为，，共2个．故选：B2.命题“，0”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“，0”是全称量词命题，所以其否定为，，故选：C3.已知集合，，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】A【解析】【分析】根据集合之间的包含关系判断即可.【详解】， ，表示3的整数倍加1，表示全体整数，所以可以推出，不可以推出，所以是的充分不必要条件.故选：A4.若，则的最小值为（）A.2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由基本不等式求最小值．【详解】，则，，当且仅当，即时等号成立，故选：D．5.已知，q：关于x的不等式的解集为R，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式得到，由不等式解集为R，利用根的判别式得到，结合两集合的包含关系，得到p是q的充分不必要条件．【详解】，由关于x的不等式的解集为R，可得，解之得，则由是的真子集，可得p是q的充分不必要条件． 故选：A6.数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过图形，并因为，，所以，，从而可以通过勾股定理求得，又因为，从而可以得到答案.【详解】等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，，，而，所以，故选项B正确.故选：B7.已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　）A.m≥2B.m≥4C.m≥6D.m≥8 【答案】D【解析】【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围.【详解】不等式可化为，又，，所以，令，则，因为，，所以，当且仅当时等号成立，又已知在上恒成立，所以因为，当且仅当时等号成立，所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，所以m的取值范围是，故选：D.8.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合奇函数的性质分析的符号，进而解不等式.【详解】当时，令， 可知：当时，；当时，；又因为是奇函数，可知：当时，；当时，；对于不等式，则或，可得或，所以不等式的解集为.故选：C.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　）A.B.C.菱形对角线互相垂直D.任意四边形均有外接圆【答案】AC【解析】【分析】根据全称量词的定义，逐项判断命题真假即可.【详解】对于A，“”全称量词，且由于，故对，为真命题，故A正确；对于B，“”是存在量词，故B错误；对于C，“所有的”是全称量词，所有的菱形的对角线都互相垂直，故C正确，对于D，任意四边形不一定有外接圆，对角和为的四边形，有外接圆；对角和不是的四边形，没有外接圆，故D错误.故选：AC.10.下列幂函数中满足条件的函数是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】先明确题目中条件对应函数的性质，再根据性质进行判断选择. 【详解】由题意可知，当时，满足条件的函数的图象是凹形曲线.对于A，函数的图象是一条直线，故当时，；对于B，函数的图象是凹形曲线，故当时，；对于C，函数的图象是凸形曲线，故当时，；对于D，在第一象限，函数的图象是一条凹形曲线，故当时，，故选：BD.【点睛】本题考查函数图象与性质，考查综合分析判断能力，属中档题.11.已知函数的定义域为R，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（）A.为奇函数B.C.不等式的解集为D.【答案】AB【解析】【分析】根据奇函数的定义，并结合条件，即可判断A；根据奇函数的性质求的值，即可判断B；根据单调性的定义，判断函数的单调性，再求解不等式，判断C；根据奇函数的性质求和，判断D.【详解】对于A中，令，可得，所以，令，得到，即，所以为奇函数，故A正确；对于B中，因为为奇函数，所以，故B正确；对于C中，设，可得，所以， 又因为，所以，所以，即，所以在R上单调递增，因为，所以，由，可得，所以，所以，得到，所以的解集为，所以C错误；对于D中，因为为奇函数，所以，所以，又，故，所以D错误.故选：AB12.已知,若对任意的,不等式恒成立.则（）A.B.C.的最小值为12D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误.【详解】因为,恒成立,即恒成立,因为,所以当时,,则需,当时,,则需,故当时,,即,所以且,故选项A正确,选项B错误; 所以,当且仅当时,即时取等,故选项C正确;因,令,当且仅当，即时等号成立，故，所以,故,所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确.故选:ACD【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式应用,属于难题,关于不等式有:(1),;(2)柯西不等式:;(3)变换后再用基本不等式:.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．）13.已知，，则______（填数值）【答案】2【解析】【分析】利用指数幂的运算法则计算出结果.【详解】. 故答案：214.若函数，满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】先判断出函数为减函数，再根据分段函数的单调性来列出不等关系，求出结果【详解】因为，所以在R上是减函数，当时，，对称轴为，分段函数要满足在上单调递减，需要满足，解得：.故答案为：15.若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据幂函数所过点得到为偶函数，在第一象限过，从而求出解析式，根据幂函数单调性得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】幂函数的图象过点，∴为偶函数，在第一象限过；当，设，则，解得；∴幂函数，由于，故在上单调递增，不等式，平方得，解得； 所以实数的取值范围是．故答案为：16.设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则______．【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性，先求得，然后求得.【详解】因为是偶函数，所以①，因为是奇函数，所以②，令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由②得：，所以当时，，.故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分．请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程．）17.已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1），（2）或 【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算即可求解，（2）分类讨论即可求解.【小问1详解】当时，，.因为或，所以.【小问2详解】当时，，解得.当时，或解得，即的取值范围是或.18.已知抛物线经过点.（1）若关于的不等式的解集为，求的值；（2）若，求关于的不等式的解集.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据不等式的解集结合韦达定理计算求值即可;（2）分,,三种情况讨论一元二次不等式的解集.【小问1详解】由抛物线经过点得，因为不等式的解集为，所以，易得关于的一元二次方程的两个根分别为. 由根与系数的关系可得解得或-3（舍去），即.【小问2详解】不等式可化为.令，得.当时，不等式为，无解；当时，，解不等式得；当时，，解不等式得.综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.19.已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解.【详解】证明：充分性：当时，多项式可化为，即，所以，则，所以，即，为等边三角形，即充分性成立；必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立．故为等边三角形的充要条件是．20.如图，现将正方形区域规划为居民休闲广场，八边形位于正方形的正中心，计划将正方形WUZV设计为湖景，造价为每平方米20百元；在四个相同的矩形，上修鹅卵石小道，造价为每平方米2百元；在四个相同的五边形上种植草坪，造价为每平方米2百元；在四个相同的三角形上种植花卉，造价为每平方米5百元.已知阴影部分面积之和为8000平方米，其中的长度最多能达到40米.（1）设总造价为（单位：百元），长为（单位：米），试用表示；（2）试问该居民休闲广场的最低造价为多少百元？（参考数据：取，结果保留整数）【答案】（1）（2）68800百元【解析】【分析】（1）将各部分分别求造价再求和即可；（2）根据基本不等式求解即可.【小问1详解】方法一：因为米，所以米，得米.根据题意可得四个三角形的面积之和为平方米，正方形的面积为平方米， 四个五边形的面积之和为平方米，则休闲广场的总造价.方法二：设米，因为米，所以米，得米，根据题意可得阴影部分面积为平方米，则，四个三角形的面积之和为平方米，正方形的面积为平方米，因为正方形的面积为平方米，所以四个五边形的面积之和为平方米，所以休闲广场的总造价.【小问2详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，所以该居民休闲广场的总造价最低为68800百元.21.已知函数为R上的奇函数，当时，.（1）求的解析式； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质计算可得；（2）设，且则，即可得到恒成立，参变分离得到，即可得解.【小问1详解】当时，由函数为R上的奇函数得；当时，，则，因为为R上的奇函数，所以，所以，故【小问2详解】由函数在上单调递减，设，且，都有，即，即. 则，因为，所以，所以，则，又，所以.22.若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则称函数具有性质．（1）当时，函数否具有性质?若具有，求出，；若不具有，说明理由；（2）若定义在上的函数具有性质，求的取值范围．【答案】（1）函数具有性质M，（2）．【解析】【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，依题意可得，解得即可；（2）首先将写出分段函数，再分和两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程组，当时，得到在上有两个不等实根，再构造函数，结合二次函数的性质求出参数的取值范围.【小问1详解】解：因为在上单调递增，所以在上的函数值的取值范围是，即，显然，所以， 故函数具有性质．【小问2详解】解：，因为在上单调递减，在上单调递增，当时，单调递减，∴，得，整理得，∵与矛盾，∴当时，不合题意．当时，在单调递增，∴，知在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根，令，，由，，，知，