江苏省扬州市2023-2024学年高一上学期1月期末考试 数学 Word版含解析.docx

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2023—2024学年高一第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.命题“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，2.下列四个函数中，与有相同单调性和奇偶性的是（）A.B.C.D.3.若全集，，则（）A.B.C.D.4.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M为OA的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（）A.cm2B.cm2C.cm2D.cm25.若实数，满足，则下列关系中正确的是（）A.B.C.D.6.若：，：，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10 克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（）A.小于20克B.不大于20克C.大于20克D.不小于20克8.若且满足，设，，则下列判断正确的是（）A.B.CD.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的有（）A.是第二象限角B.C.小于的角一定是锐角D.10.下列命题为真命题的有（）A.若，，则B.若，，则C若，则D.若，则11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.为奇函数B.是以为周期的函数C.的图象关于直线对称D.时，的最大值为12.如图，过函数（）图象上的两点A，B作轴的垂线，垂足分别为，（），线段与函数（）的图象交于点，且与轴平行.下列结论正确的有（） A.点的坐标为B.当，，时，值为9C.当时，D.当，时，若，为区间内任意两个变量，且，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知角的终边经过点，则的值为______.14.若，，，则的最大值为______.15.已知定义域为的奇函数，当时，，若当时，的最大值为，则的最小值为______.16.定义域为的函数，如果对于区间内（）的任意三个数，，，当时，有，那么称此函数为区间上的“递进函数”，若函数是区间为“递进函数”，则实数的取值范围是______.四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.化简求值：（1）；（2）若，求的值.18.已知.求值：（1）；（2）.19.已知函数的定义域为集合，函数 的值域为.（1）当时，求；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.20.已知，.（1）若，，且，求函数的单调增区间；（2）若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，当取最小值时，方程在区间上有解，求实数的取值范围.21已知函数，，其中.（1）判断并证明的单调性；（2）①设，，求取值范围，并把表示为的函数；②若对任意的，总存在使得成立，求实数的取值范围.22.已知函数.（1）若为定义在上的偶函数，求实数的值；（2）若，恒成立，求实数的取值范围. 2023—2024学年第一学期期末检测高一数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.命题“，”的否定为（）A.，B.，C，D.，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得.【详解】根据全称命题的否定为特称命题，则命题“，”的否定为“，”故选：A2.下列四个函数中，与有相同单调性和奇偶性的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接根据基本初等函数的奇偶性和单调性判断.【详解】明显函数为奇函数，且在上单调递增；对于AC：函数与均为指数函数，且为非奇非偶函数；对于B：为奇函数，且在上单调递增；；对于D：为奇函数，但其在上不是单调函数.故选：B.3.若全集，，则（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的解法，求得集合，结合集合的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以集合，又由，可得，所以.故选：C4.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M为OA的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（）A.cm2B.cm2C.cm2D.cm2【答案】B【解析】【分析】根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：扇环的面积为．故选：B5.若实数，满足，则下列关系中正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】把指数式转化为对数式，利用对数的运算法则进行计算.【详解】因为，所以，， 由换底公式得：，.所以.故选：A6.若：，：，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据条件取特殊值验证充分性和必要性即可.【详解】因为,取，因为，此时，故充分性不成立，当时，取，则，故必要性不成立，故是的既不充分也不必要条件，故选:D.7.某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（）A.小于20克B.不大于20克C.大于20克D.不小于20克【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合基本不等式，即可求解.【详解】设天平的左臂长为，右臂长为（不妨设），第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为，由杠杆平衡的原理，可得，则，可得，当且仅当时，等号成立，所以顾客所得的黄金不小于20克.故选：D. 8.若且满足，设，，则下列判断正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】通过条件得到，通过假设找到矛盾，从而得到，进而确定函数单调性，通过单调性比较大小即可．【详解】因为，两边同时除以得，因为，若，则，，则，同理，则与矛盾，所以，则，，则，同理，所以，又， 因为函数单调递减，单调递增，所以单调递减，对于AB：由于与，与大小关系不确定，故AB错误；对于CD：由于，，所以，，故C正确，D错误．故选：C．【点睛】关键点睛：根据选项为比较大小可知本题关键是确定函数的单调性，即是大于还是小于，带着这个目的去挖掘条件即可找到解题思路．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的有（）A.是第二象限角B.C.小于的角一定是锐角D.【答案】BD【解析】【分析】根据角的定义，以及诱导公式和特殊角的三角函数值，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，根据角的定义，可得是第三象限角，所以A不正确；对于B中，由，所以B正确；对于C中，根据角的定义，小于的角不一定是锐角，可以是负角，所以C错误；对于D中，由的终边位于第二象限，所以，所以D正确.故选：BD.10.下列命题为真命题的有（）A.若，，则B.若，，则C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】 【分析】作差即可判断ABC；根据不等式的性质即可判断D.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，因为，，所以，所以，所以，故B错误；对于C，若，则，所以，故C正确；对于D，若，则，所以，故D正确.故选：ACD.11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.为奇函数B.是以为周期的函数C.的图象关于直线对称D.时，的最大值为【答案】AD【解析】【分析】对于A，由正弦函数的奇偶性即可判断；对于B，判断是否成立即可；对于C，判断是否成立即可；对于D，可得时，单调递增，由此即可得解.【详解】对于A，的定义域为（关于原点对称），且，对于B，，故B错误；对于C，， ，但，即的图象不关于直线对称，故C错误；对于D，时，均单调递增，所以此时也单调递增，所以时，单调递增，其最大值为.故选：AD.12.如图，过函数（）图象上的两点A，B作轴的垂线，垂足分别为，（），线段与函数（）的图象交于点，且与轴平行.下列结论正确的有（）A.点的坐标为B.当，，时，的值为9C.当时，D.当，时，若，为区间内任意两个变量，且，则【答案】ABD【解析】【分析】代入验证可判断A；将，，，代入，然后分别得出点A、C的坐标，使点A与点C的纵坐标相等求解m的值可判断B；用含a、b的式子表示出点A、B、C的坐标，再利用AC与x轴平行得到m与c的关系式可判断C；设，利用对数函数的单调性，以及对数的运算法则，即可证明. 【详解】对A：由图可知，若设，则,又A在上，则，所以，故A对；对B：由题意得，，且与轴平行，所以，得故B对；对C：由题意得，，且与轴平行，所以，因为，所以，故C错；对D：因为，且，所以，又因为，所以，，又因为，所以，所以，所以，即，故D对；故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知角的终边经过点，则的值为______.【答案】【解析】【分析】直接由三角函数的定义求解.【详解】由三角函数的定义可得，所以.故答案为：.14.若，，，则的最大值为______.【答案】## 【解析】【分析】根据基本不等式求最大值即可.【详解】因为，，，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为为,故答案为：.15.已知定义域为的奇函数，当时，，若当时，的最大值为，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据函数为奇函数可知时，最小值为，考查时的最值情况，可得到的范围，即可求解.【详解】因为是定义域为的奇函数，当时，的最大值为，则时，最小值为，又当时，，当时，，当时，，单调递减，又当时，，故则时，最小值为， 必有，则，故的最小值为，故答案为：.16.定义域为的函数，如果对于区间内（）的任意三个数，，，当时，有，那么称此函数为区间上的“递进函数”，若函数是区间为“递进函数”，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据函数是区间为“递进函数”，由的递增区间为求解.【详解】解：因为函数是区间为“递进函数”，所以的递增区间为，令，则在上恒成立，即在上恒成立，所以，故答案为：四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.化简求值：（1）；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）7【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算及对数运算法则进行计算即可；（2）把条件平方后可得，再次平方即可求解.【小问1详解】原式；【小问2详解】由题意得，得，同理，故.18.已知.求值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）诱导公式化简后，分子分母同时除以，进一步计算即可；（2）分母变为，分子分母同时除以，进一步计算即可.【小问1详解】因为，所以原式；【小问2详解】 因为，所以原式.19.已知函数的定义域为集合，函数的值域为.（1）当时，求；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别求出集合、，再求两个集合的并集；（2）根据题意，确定两个集合的包含关系，然后求得取值范围.【小问1详解】由题意得所以，所以；当时，在上单调增，则，∴；【小问2详解】若是的必要不充分条件，则是的真子集.当时，在上单调增，则，所以，解得； 当时，，不符合题意；当时，在上单调减，则，不符合题意；综上，.20.已知，.（1）若，，且，求函数的单调增区间；（2）若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，当取最小值时，方程在区间上有解，求实数的取值范围.【答案】（1），（闭区间也正确）（2）【解析】【分析】（1）根据，，且，结合周期公式求出函数的解析式，再求单调增区间即可；（2）根据平移变换法则以及函数的对称性求出函数解析式，再求的最小值，结合正弦函数的性质可求实数的取值范围.【小问1详解】，则，所以；由，，解得，，所以函数的单调增区间为，（闭区间也正确）.【小问2详解】将图象向左平移个单位长度后得到， 若所得图象关于轴对称，则，得，，因为，所以；，得，，所以的取值范围为.21.已知函数，，其中.（1）判断并证明的单调性；（2）①设，，求的取值范围，并把表示为的函数；②若对任意的，总存在使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调减函数，证明见解析（2）①；，；②【解析】【分析】（1）利用定义法对的单调性进行证明.（2）由已知可得，即，代入即可求得；（3）设在时值域为，得，设在时的值域为，由题意得，然后分、、、进行讨论即可.【小问1详解】是上的单调减函数.证明如下：在上任取，且，所以则， 故是上单调减函数；【小问2详解】①，则，又因为，所以，从而.又因为，所以，因为，所以，②设在时值域为，在单调递减，所以，而，，则；设在时的值域为，由题意得.（ⅰ）当时，即，在上单调增，∴，因为，显然不满足；（ⅱ）当时，即，在上单调增，在上单调减，且，∴，显然不满足；（ⅲ）当时，即，在上单调增，在上单调减，且， ∴，且，所以不满足（ⅳ）当时，，在上单调减，∴，∵，∴且，所以；综上，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，属于中档题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数a≥恒成立(即a≥可)或a≤恒成立（即a≤可）；② 数形结合(y=图象在 y=上方即可)；③ 讨论最值≥0或≤0恒成立；22.已知函数.（1）若为定义在上的偶函数，求实数的值；（2）若，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据为定义在上的偶函数，则对恒成立，可得，可求实数的值；（2）恒成立，可得恒成立，构造函数，结合指数函数的性质即可求实数的取值范围.【小问1详解】函数为定义在上的偶函数，则对恒成立，所以，化简得，即，所以. 【小问2详解】不等式可化为（*），由题意得：对任意恒成立，则；（*）可化为，所以，对于不等式，令，因为，所以.，恒成立，恒成立；令，可得即（**）由于函数为上的减函数，且，所以不等式的解集为；由于函数为上的减函数，所以当时，恒成立，所以（**）式的解为.综上，的取值范围为.【点睛】不等式恒成立问题求解方法：（1）分离参数转化为求最值问题；（2）最值用参数表示，再解不等式.