浙江省金华市十校2023-2024学年高二上学期1月期末调研考试数学 Word版含解析.docx

《浙江省金华市十校2023-2024学年高二上学期1月期末调研考试数学 Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

金华十校2023-2024学年高二第一学期调研考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线：与直线：互相平行，则（）A1B.4C.D.【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行得到方程，解出验证即可.【详解】因为两直线平行，则有，解得，经验证此时两直线不重合，故选：C.2.已知等差数列中，，则（）A.24B.36C.48D.54【答案】D【解析】【分析】由等差数列性质以及求和公式即可得解.【详解】由题意.故选：D.3.如果函数在处的导数为1，那么（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据导数的定义可直接得到答案.【详解】因为函数在处的导数为1，根据导数的定义可知，故选：A.4.过点且与直线垂直的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意设直线方程为：，将点代入求解.【详解】解：由题意设直线方程为：，因该直线过点，所以，解得，所以直线方程为：，故选：C5.圆C：与圆的位置关系不可能（）A.内含B.内切C.相交D.外切【答案】D【解析】【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案.【详解】由题可得圆C：，则其圆心，半径为；圆，则其圆心为，半径为.则两圆圆心距为，故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离.故选：D6.已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（ 不重合），则下列说法中，正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系得两平面的位置关系，由此即可得解.【详解】由题意或.故选：B.7.法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点和，动点为，若，则动点的轨迹为（）A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量积运算求得的轨迹方程，从而确定正确答案.【详解】设，以线段的中点为平面直角坐标系原点，为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，设，则，即，所以的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆.故选：B8.已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与 垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解.【详解】联立，化简并整理得，由题意，化简得，解得，所以过点且与垂直的直线方程为，在该直线方程中分别令，依次解得，所以，即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为，所以，等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点，若在左支上面，如图所示： 所以，等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点，综上所述，点到两点距离之和的最小值为.故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是求出点的运动轨迹方程，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列导数运算正确的（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案.【详解】对A，，故A正确；对B，，B错误；对C，，C正确；对D，，D正确.故选：ACD10.已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（）A.18B.19C.20D.21【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意，得，所以.故选：BC.11.已知抛物线的准线方程为，焦点为，点是抛物线上的两点，抛物线在两点的切线交于点，则下列结论一定正确的（）A.抛物线的方程为：B.C.当直线过焦点时，三角形面积的最小值为1D.若，则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由抛物线准线列方程求出参数即可判断；对于B，由抛物线定义即可判断；对于C，设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合点到直线距离公式得三角形面积表达式，进一步由基本不等式即可判断；对于D，设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合已知得或，进一步由余弦定理基本不等式可得，由此即可判断.【详解】对于A，抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为：，故A正确；对于B，因为点在抛物线上，所以由抛物线定义可知，故B正确；对于C，由题意抛物线焦点坐标为，显然过焦点的直线斜率存在，如图所示：不妨取直线的方程为，且，联立抛物线方程，得， 所以，所以，，点到直线的距离为，所以三角形面积为，等号成立当且仅当，即三角形面积的最小值为2，故C错误；对于D，显然直线斜率存在，不妨取直线的方程为，且，如图所示：联立抛物线方程，得，所以，所以，，因为，所以，解得或，即或，而，等号成立当且仅当，解得， 此时或，且此时满足，即，所以最大值为，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是联立直线方程与抛物线方程，由弦长公式结合已知得关系，事实上这是非常有必要的，表面上直接由余弦定理基本不等式可得，但是验证基本不等式等号是否成立的重要条件.12.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为，重量为的实心玩具，则下列说法正确的是（）A.将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为.B.将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为.C.将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为.D.将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.【答案】AD【解析】【分析】利用补体法求得正方体棱长判断A，利用对称性得球的直径判断B，求解两平行平面的距离判断C，先求出几何体的体积，通过与水密度的大小比较即可判断D.【详解】将该几何体放置在如图的正方体中，对于A，将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为图中正方体的棱长， 由题意，该几何的棱长为，所以正方体的棱长为，正确；对于B，将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为该几何体外接球的半径，根据正方体和多面体的对称性知，该几何体外接球直径为正方体面对角线，即，解得，所以包装盒半径最小为，错误；对于C，将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为两平行平面与平面的距离，证明求解过程如下：如图，不妨记正方体为，，，故四边形是平行四边形，所以，又，分别为，的中点，所以，同理，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，设对角线分别交平面和平面于点，，因为平面，平面，所以，连接，因为分别为的中点，故，又，平面，，所以平面，又平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，又平面平面，所以平面，故即为平面与平面的距离， 则，由正方体棱长为得，由题意得，为等边三角形，故，根据，得，解得，根据对称性知，所以，则平面与平面的距离为，即该玩具的高度为，错误；对于D，该几何体的体积为.因为玩具的密度为，小于水的密度，所以将玩具放至水中，其会飘浮在水面上，正确.故选：AD【点睛】方法点睛：求空间距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法求解；三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线在点处的切线斜率为________．【答案】4【解析】【分析】函数求导后，求得，即为所求.【详解】因为，所以，则，故答案为：4.14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8 个步骤变成1（简称8步“雹程），数列满足冰雹猜想，其递推关系为：（m为正整数），若，则所有可能的取值为________．【答案】1和8【解析】【分析】根据，且，利用递推求解.【详解】解：因为，且，所以或（舍去）；或（舍去）；或，故答案为：1和815.如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则________．【答案】【解析】【分析】由题意首先得四边形为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求解.【详解】因为，所以，同理 ，所以四边形为平行四边形，所以.故答案为：.16.已知椭圆的离心率为为椭圆的一个焦点，若关于直线的对称点恰好在椭圆上，则斜率的取值构成的集合为________．【答案】【解析】【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，代入椭圆的方程中，整理计算可得参数.【详解】过点且与直线垂直的直线为，两直线的交点，从而点.点在椭圆上，则，即则,则，，或.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作．（1）若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？（2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）．【答案】（1）公司：（元）；公司：（元） （2）从公司得到的报酬较多【解析】【分析】（1）根据所给条件分布求出在公司、第年的月工资；（2）分别利用等差数列、等比数列求和公式求出总报酬，即可判断.【小问1详解】选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加元,则他第年的月工资是：（元）；选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增．则他第年的月工资（元）．小问2详解】若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司、公司得到的报酬分别为：公司A：（元）．公司B：（元），因为，故从公司得到的报酬较多.18.如图，已知圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，圆柱的两条母线．（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥体积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）18【解析】 【分析】（1）根据面面垂直判定定理证明即可；（2）应用棱锥体积公式结合基本不等式求出最大值即可.【小问1详解】为圆柱的母线，平面，又平面．①是下底面圆的直径，．②①②及平面,平面，平面，又平面平面平面．【小问2详解】在中，设，则，．当且仅当时，不等式取“=”号．故的最大值为18．19.已知以点为圆心的圆与直线相切，过点斜率为的直线与圆相交于两点，（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程．【答案】（1）（2）或 【解析】【分析】（1）直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，继而可写出所求圆的方程；（2）设点是的中点，连接，则，利用勾股定理求得的值,再根据圆心到直线的距离，建立方程，解出即可.【小问1详解】设圆的半径为，圆与直线相切，，所以圆的方程为．【小问2详解】设直线的方程为，即，设点是的中点，连接，则，则,又由，得，解得或所以直线的方程为或．20.如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且． （1）求证：；（2）若平面交于点，求的值；（3）若二面角的大小为，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、性质推理即得.（2）利用平面的基本事实证得三点共线，作于，利用平行关系推理计算即得.（3）作出二面角的平面角，结合（2）的信息计算即得.【小问1详解】四棱锥的底面是菱形，，又平面，平面，则平面，而平面平面，平面，所以.【小问2详解】由平面，平面，得平面平面，而，平面，于是平面，又平面，则，即三点共线，由平面，平面，则，如图，在中，过点作的垂线，垂足为，于是， 设，由，得，，，从而，所以，即．【小问3详解】过点作于点，连接，由平面，平面，则，而平面，则平面，而平面，于是，则有为二面角的平面角，即，在菱形中，由，得，则，由（2）得，所以.21.已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）若数列满足，求证： 【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由，利用数列的通项和前n项和关系求解；（2），利用裂项相消法求解.（3）由，利用分组求和法求解.【小问1详解】当时，．①，②，①-②得：，当时，也符合上式，所以；【小问2详解】，，，．【小问3详解】，③，④ ③-④得：，，，，．故.22.已知为拋物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为的面积为．已知，设过点的动直线与抛物线交于两点，直线与的另一交点分别为．（1）求拋物线的方程；（2）当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）直线过定点【解析】【分析】（1）由题意得，，结合的面积为列方程即可求解；（2）设，，联立抛物线方程得，设，则，结合三点共线得，同理 ，得出关于的表达式即可求解.【小问1详解】设准线与轴的交点为，直线的斜率为，又，．故抛物线的方程为：．【小问2详解】设，过点的直线方程为：．则联立，整理得：，由韦达定理可得：．又设，所以直线斜率为，直线方程为，即的直线方程为：， 由三点共线可得：，即，所以，所以，因为，所以化简可得：，同理，由三点共线可得：，可得，，综上可得的直线方程为：，变形可得：，所以直线过定点．