山东省枣庄市薛城区2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 Word版含解析.docx

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2023～2024学年度高一第一学期学科素养诊断试题数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（）A.B.C.D.2.的值为（）A.B.C.D.3.设，，，则的大小关系为（    ）A.B.C.D.4.下列函数既是奇函数又在上是增函数的是（）A.B.C.D.5.已知函数，若在上有两个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.6.已知命题p：，命题q：，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A.[﹣1，2]B.（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D.（﹣1，2）7.已知函数在区间内零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A.B.CD.8.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌” ，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，扇形周长为定值，圆心角为，若，则当取得最大值时，圆心角为的值为（）A1B.2C.3D.4二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.两个角的终边相同，则它们的大小相等B.C.若，则为第一或第四象限角D.经过30分钟，钟表的分针转过弧度10.已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（）A.B.CD.11.已知函数，下列选项中正确的是（）A.为奇函数B.在区间内有2个零点C.的周期是D.的最大值为12.已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（）A.函数零点的个数为2 B.实数的取值范围为C.函数无最值D.函数在上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的值为______．14.若，则_________.15.已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是______.16.已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则________，________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的坐标为，且.（1）求的值；（2）求的值.18.已知函数，.（1）当时，解关于的方程；（2）解关于的不等式.19.已知函数的部分图象如图所示.若 的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数的图象.（1）求的解析式；（2）求在上的单调递减区间.20.已知二次函数．（1）当取何值时，不等式对一切实数都成立：（2）若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围．21.已知函数．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．22.已知定义域为的函数满足对任意都有．（1）求证：是奇函数；（2）设，且当x＞1时，，求不等式的解． 2023～2024学年度第一学期学科素养诊断试题高一数学2024.01一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据钝角的范围，即可得出选项C正确，再由第二象限角的范围，即可判断出选项ABD的正误，从而得出结果.【详解】因为钝角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故选项C正确，又第二象限角的范围为，不妨取，此时是第二象限角，但，所以选项ABD均错误，故选：C.2.的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式与和差公式化简求值即可.【详解】.故选：A.3.设，，，则的大小关系为（    ） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由指数函数，对数函数单调性分析和与1和0的关系，由正切函数性质分析与1和0的关系，即可得出答案.【详解】，即，，且，即，由正切函数性质可知，即，故，故选：A.4.下列函数既是奇函数又在上是增函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】因为是奇函数又在上是增函数，所以A正确.因为定义域为，所以在和是增函数，所以B错误.因为是偶函数不是奇函数，所以C错误.因为定义域为不具备奇偶性，所以D错误.故选：A5.已知函数，若在上有两个零点，则的取值范围是（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，所以，从而求出 的取值范围．【详解】因为，所以，因为函数在区间上有2个零点，所以，解得，即的取值范围是故选：C.6.已知命题p：，命题q：，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A.[﹣1，2]B.（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D.（﹣1，2）【答案】B【解析】【分析】由是的充分不必要条件,则是的充分不必要条件,由得或，只需,即可.【详解】由得或,因为是的充分不必要条件,所以是的充分不必要条件,所以,解得或.故选:.【点睛】本题考查充分必要条件求参数取值范围问题,难度一般.7.已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断a，b，c所在区间作答.【详解】函数在上单调递减，函数在上都单调递增，因此函数在上都单调递减，在上最多一个零点，，即有，，则，而，即，所以.故选：A8.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，扇形周长为定值，圆心角为，若，则当取得最大值时，圆心角为的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】先利用扇形的周长得到推得，再利用扇形的面积公式将问题转化为二次函数的最值问题，从而得解.【详解】依题意，知，则，，因为，所以，不妨设，则，因为扇形周长为定值，所以，则，因为， 扇形的面积为，则，对于，其开口向下，对称轴为，故当，即时，取得最大值，即取得最大值，此时，.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.两个角的终边相同，则它们的大小相等B.C.若，则为第一或第四象限角D.经过30分钟，钟表的分针转过弧度【答案】BD【解析】【分析】选项A，可利用终边相同的角的关系判断出选项A的正误；选项B，利用诱导公式及特殊角的函数值，即可判断出选项B的正误；选项C，通过取特殊角，即可作出判断；选项D，利用角的定义即可作出判断，从而得出结果.【详解】对于选项A，终边相同的角相差倍，所以选项A错误；对于选项B，，所以选项B正确；对于选项C，当时，，此时为轴线角，所以选项C错误；对于选项D，经过30分钟，钟表的分针转过半个圆，由角的定义知，分针转过弧度，所以选项D正确，故选：BD.10.已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（）A.B. C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据，并结合为锐角求解即可.【详解】解：因为，所以，即所以，因为为锐角，所以，所以，所以，所以故选：ABD11.已知函数，下列选项中正确的是（）A.为奇函数B.在区间内有2个零点C.的周期是D.的最大值为【答案】BD【解析】【分析】根据奇偶性判断A，由二倍角公式变形函数式，结合方程判断B，根据周期的定义判断C，结合二次函数性质判断D．【详解】由题，A错；由，可得（舍去），又，因此有两解，B正确；因为，，因此不可能是 的周期，C错；因为，∴时，取得最大值，D正确．故选：BD．12.已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（）A.函数的零点的个数为2B.实数的取值范围为C.函数无最值D.函数在上单调递增【答案】ABC【解析】【分析】根据分段函数图像可以判断ABD，而选项C，结合分段函数的图像性质，分析得到两个不等的实根，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.【详解】因为函数，可得函数图像如图：由图知函数有2个零点，故A选项正确；函数没有最值，故C选项正确；函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误；由于方程有4个不同的实数根，令则有4个不同的实数根， 因为恒成立，设两个不等的实根为，由韦达定理知：，则异号，由图可知：，所以，解得，故B选项正确；故选：ABC【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的值为______．【答案】【解析】【分析】直接利用对数的运算法则和指数幂的运算法则求解即可【详解】14.若，则_________.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式即可化简求解.【详解】, 故答案为：15.已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果.【详解】因为，即，设，则，且，原式，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：416.已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则________，________．【答案】①.②.【解析】 【详解】由图知函数的周期是，又知，，时，，故答案为(1)；(2).【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，可以先求出的所有的值，再根据题设中的条件，取特殊值即可.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的坐标为，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义与三角函数的象限符号即可求解；（2）由同角三角函数的关系即可求解.【小问1详解】∵角的终边与单位圆的交点为∴∵∴∴.【小问2详解】原式又∵ ∴原式18.已知函数，.（1）当时，解关于的方程；（2）解关于的不等式.【答案】（1）或（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据条件得到或，即可求出结果；（2）分和两种情况讨论，当时，因为恒成立，即可求出结果；当时，由，得到或，再对进行分类讨论即可求出结果.【小问1详解】当时，由方程，得到，所以或，解得或，故方程的解为或.【小问2详解】由，可得，①当时，恒成立，原不等式等价于，解得，此时不等式解集为；当时，由，得到或，②当时，，由，得到或，此时不等式解集为；③当时，方程仅有一根，即，此时不等式解集为；④当时，，由，得到或，此时不等式解集为， 综上所述，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，方不等式解集为，当时，不等式解集为.19.已知函数的部分图象如图所示.若的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数的图象.（1）求解析式；（2）求在上的单调递减区间.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合图像求出的解析式，再根据伸缩变换得到的解析式；（2）整体代入法求单调区间.【小问1详解】由题可得，，则，则，当时，取得最大值，则，解得， 又因为，故，所以，则.【小问2详解】由（1）可知，令，则，故的单调递减区间为.则时，在上的单调递减区间为.20.已知二次函数．（1）当取何值时，不等式对一切实数都成立：（2）若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对a分类讨论，结合二次函数图象及判别式法求解；（2）对零点个数分类讨论，结合判别式法及零点存在定理列式求解，另外需要注意讨论零点在的临界情况.小问1详解】为二次函数，则，当时，二次函数开口向上，不等式不对一切实数都成立，不满足题意；当时，则有，解得.故当时，不等式对一切实数都成立； 【小问2详解】i.当仅有一个零点时，由，此时零点，符合题意；ii.当有两个零点时，①当，则由解得另一个零点为，符合题意；②当，则由解得另一个零点为，符合题意；③当，由零点存在定理，则有，解得.综上，在区间内恰有一个零点时，实数的取值范围为.21.已知函数．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．【答案】（1）1（2）（3）【解析】【分析】（1）直接根据解析式计算可得结果；（2）化简，根据正弦函数的单调递增区间可得结果；（3）根据正弦函数的图象列式可得结果.【小问1详解】.【小问2详解】 ，由，，得，，所以的单调递增区间是．【小问3详解】因为，所以．依题意，解得．所以m的取值范围为．22.已知定义域为的函数满足对任意都有．（1）求证：是奇函数；（2）设，且当x＞1时，，求不等式的解．【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）根据题意赋值结合奇函数定义证明；（2）根据题意整理可得，赋值结合单调性定义可证在上单调递减，并根据偶函数的定义证明是偶函数，根据奇偶性、单调性解不等式.【小问1详解】令，则，即，令，则，即，令，则，即， 故是奇函数.【小问2详解】∵，则，即，则，即，令，则，，∴，即，故在上单调递减，又∵，则是偶函数，∴，即，则，解得或，故不等式的解集为.