山西省晋中市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 Word版含解析.docx

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2024年1月高一年级期末调研测试【山西省通用】数学试卷考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“∃x＞0，x2＞2x否定是（）A.∃x0，x2＞2xB.∀x0，x22xC.∀x＞0，x22xD.∃x＞0，x2＜2x2.已知集合，，，则（）A.B.C.D.3已知，则（）A.B.C.D.4.下列函数是偶函数且在上单调递减是（）A.B.C.D.5.已知，，则“”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知，，，则（）A.B.C.D.7.已知函数图象如图所示，则的解析式可以是（） A.B.C.D.8.已知点，分别以，为起点同时出发，沿单位圆（为坐标原点）逆时针做匀速圆周运动，若点的角速度为，点的角速度为，则，第二次重合时的坐标为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.已知，，则（）A.B.C.D.10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B. C.的图象关于点对称D.在上单调递增11.设分别是方程与的实数解，则（）A.B.C.D.12.已知，，均为不等于零的实数，且满足，则下列说法正确的是（）A.B.当时，的最大值为1C.当时，的最大值为1D.当时，的最大值为1三、填空题：本题共4小题.13.已知函数若，则______.14.已知扇形的周长为10，面积为6，则这个扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.15.为了践行“绿水青山就是金山银山”的生态环保理念，某地计划改善生态环境，大力开展植树造林活动.该地计划每年都植树造林，若森林面积的年增长率相同，则需要5年时间使森林面积变为原来的2倍，为使森林面积变为原来的5倍以上，至少需要植树造林______年.（结果精确到整数，参考数据：）16.已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是______.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式的解集为.（1）求不等式的解集；（2）设非空集合，若是的充分不必要条件，求的取值范围.18.已知，，且，.（1）求，；（2）求.19.已知函数是奇函数.（1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集.20.某工厂生产某种产品，受生产能力、技术水平以及机器设备老化等问题的影响，每天都会生产出一些次品，根据对以往产品中次品的分析，得出每日次品数（万件）与日产量（万件）之间满足关系式（其中为小于6的正常数）.对以往的销售和利润情况进行分析，知道每生产1万件合格品可以盈利4万元，但每生产1万件次品将亏损2万元，该工厂需要作决策定出合适的日产量.（1）求每天的利润（万元）与的函数关系式；（2）分别在和的条件下计算当日产量为多少万件时可获得最大利润.21.已知函数，，满足，.（1）求的解析式；（2）将的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.22.已知函数定义域为，且，，都有成立.（1）求，的值，并判断的奇偶性.（2）已知函数，当时，.（i）判断在上的单调性；（ii）若均有，求满足条件的最小的正整数. 2024年1月高一年级期末调研测试【山西省通用】数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“∃x＞0，x2＞2x的否定是（）A∃x0，x2＞2xB.∀x0，x22xC.∀x＞0，x22xD.∃x＞0，x2＜2x【答案】C【解析】【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，由此求解出结果.【详解】变为，的否定为，所以原命题的否定为“，”，故选：C.2.已知集合，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出，根据定义依次判断即可.【详解】因为，所以，对于A选项，因为，故A选项错误；对于B选项，因为，故B选项错误； 对于C选项，因为，故C选项正确；对于D选项，，故D选项错误.故选：C.3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用齐次化运算求解.【详解】.故选：A4.下列函数是偶函数且在上单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据余弦函数，指数函数，幂函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.【详解】对于A，，为奇函数，选项A错误；对于B，，奇函数，选项B错误；对于C，，即函数不单调，选项C错误；对于B，，，故为偶函数，又函数在上单调递减，选项D正确.故选：D5.已知，，则“”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】运用诱导公式，和充分必要条件的定义判断求解 【详解】，，，，，即成立反之,，若，则不成立所以“”是“”成立的必要不充分条件，故选:C6.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数单调性可判断的大小，根据对数函数单调性可判断的正负，由此可判断的大小关系.【详解】由指数函数单调性可知：，由对数函数单调性可知：，由上可知：，故选：C.7.已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先根据定义域排除C、D选项，再由趋于正无穷时的符号，结合排除法即可得到答案. 【详解】对于B，，当趋于正无穷时，是一个负数，即为负数，排除B选项；因为和的定义域都为不满足所给图象，排除C、D选项；故选：A8.已知点，分别以，为起点同时出发，沿单位圆（为坐标原点）逆时针做匀速圆周运动，若点的角速度为，点的角速度为，则，第二次重合时的坐标为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】设运动时间为，明确，点的坐标随时间变化，问题转化为追及问题求解.【详解】设运动时间为，则点坐标为，点坐标为，则，第二次重合时，，此时点坐标为：即.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】采用取特殊值法判断AD；利用不等式的性质判断BC.【详解】对于A：取，此时，即，故A 错误；对于B：因为，所以，又因为，所以成立，故B正确；对于C：因为，所以，又因为，所以，所以，又因为，且，，所以，故C正确；对于D：取，此时，显然不成立，故D错误；故选：BC.10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.C.的图象关于点对称D.在上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】根据图象先求解出的值，然后根据图象过求解出的值，由此可求的解析式，然后逐项检验即可.【详解】由图象可知：，，所以，所以，代入，所以，所以，所以，所以， 又因为，所以，所以，故A正确；因为，故B正确；因为，所以不是对称中心，故C错误；当时，令，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故D正确；故选：ABD.11.设分别是方程与的实数解，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用反函数性质结合图像求解即可.【详解】方程与分别变形为：因为和互为反函数，且关于对称，所以，故CD正确，画出和，的图像，易知A正确；又因为，结合图像，易知，故B错误. 故选：ACD12.已知，，均为不等于零的实数，且满足，则下列说法正确的是（）A.B.当时，的最大值为1C.当时，的最大值为1D.当时，的最大值为1【答案】BD【解析】【分析】利用特值排除选项A，利用基本不等式判断B，利用特值排除选项C，利用基本不等式判断D.【详解】对于选项A，当，因为，可得，但是此时，故选项A错误；对于选项B，因为，，，所以，故，所以，且，所以的最大值为1，故选项B正确；对于选项C，当时，因为，所以可求，所以的最大值不为1，故选项C错误；对于选项D，因为，，所以，所以，因为，所以时取等号，所以，且，所以的最大值为1，故选项D正确.故选：BD. 三、填空题：本题共4小题.13.已知函数若，则______.【答案】2【解析】【分析】利用，代入解析式可求答案.【详解】因为所以，解得.故答案为：214.已知扇形的周长为10，面积为6，则这个扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】或【解析】【分析】设扇形的半径为，弧长为，根据题意列方程组求出、的值，即可求出扇形的圆心角．【详解】如图所示，设扇形的半径为，弧长为，由题意可得，解得，或，当，时，扇形的圆心角为；当，时，扇形的圆心角为；所以该扇形的圆心角为或．故答案为:或15.为了践行“绿水青山就是金山银山”的生态环保理念，某地计划改善生态环境，大力开展植树造林活动.该地计划每年都植树造林，若森林面积的年增长率相同，则需要5年时间使森林面积变为原来的2 倍，为使森林面积变为原来的5倍以上，至少需要植树造林______年.（结果精确到整数，参考数据：）【答案】12【解析】【分析】先求出年增长率，再列出不等式求出x即可.【详解】设森林面积为m，森林面积的年增长率为，则5年时间森林面积变为，则，若需要植树造林x年，使得森林面积变为原来的5倍以上，则有，即，则有，所以为使森林面积变为原来的5倍以上，至少需要植树造林12年.故答案为：1216.已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可.【详解】当时，，令得，符合题意；当时，是二次函数，对于方程，只需，即，解得，且，当时，，此时，得或，符合题意，当时，，此时，得或，符合题意，综上，实数取值范围为.故答案为：.【点睛】思路点睛：本题考查函数零点分布.讨论和两种情况，当 时，可判断判别式大于零，结合零点存在性定理运算求解.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式的解集为.（1）求不等式的解集；（2）设非空集合，若是的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】17.18.【解析】【分析】（1）先根据不等式的解集求出，再根据一元二次不等式的解法即可得解；（2）由是的充分不必要条件，可得是的真子集，列不等式组求解即可.【小问1详解】因为不等式的解集为，所以方程的解为，所以，，得，，则不等式即，解得，故解集；【小问2详解】由（1）知，，而是的充分不必要条件，则是的真子集，所以，解得， 综上所述，的取值范围是.18.已知，，且，.（1）求，；（2）求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据二倍角的余弦公式求解出的值，然后判断出的范围，再根据平方和关系求解出的值；（2）根据条件先判断出的范围，然后根据平方和关系求解出，利用角的配凑可得，结合两角和的正弦公式求解出的值，再根据的范围可求结果.【小问1详解】由题意知，，因为，所以，所以，所以.【小问2详解】由，，可得，，所以，，因为，所以. 19.已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）求关于的不等式的解集.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意，，可得，结合奇函数定义域关于原点对称，确定；（2）利用和不同范围时对数函数的性质解不等式.【小问1详解】因为是奇函数，所以对定义域内的任意恒成立，则对任意定义域内的任意恒成立，所以，，当时，定义域为，不关于原点对称，舍去，当时，，符合条件.所以.【小问2详解】，的定义域为.当时，，解得，当时，，解得.综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.20.某工厂生产某种产品，受生产能力、技术水平以及机器设备老化等问题的影响，每天都会生产出一些次品，根据对以往产品中次品的分析，得出每日次品数（万件）与日产量（万件）之间满足关系式（其中为小于6的正常数）.对以往的销售和利润情况进行分析，知道每生产1 万件合格品可以盈利4万元，但每生产1万件次品将亏损2万元，该工厂需要作决策定出合适的日产量.（1）求每天的利润（万元）与的函数关系式；（2）分别在和的条件下计算当日产量为多少万件时可获得最大利润.【答案】20.；21.答案见解析.【解析】【分析】（1）根据题意列出（万元）与的函数关系式即可；（2）利用函数的单调和基本不等式可求最值.【小问1详解】由题意得:当时，，当时，，综上，.【小问2详解】令，则，若，当时，每天的利润为0，当时，，在上单调递减，故最大值在即时取到，为；若，当，每天的利润为0，当时，，，当且仅当时等号成立，故最大值在，即时取到，为，综上，若，则当日产量为2万件时，可获得最大利润； 若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润.21.已知函数，，满足，.（1）求的解析式；（2）将的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换可得，根据题意结合正弦函数最值分析求解；（2）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解.【小问1详解】，由题意可知：在处取到最大值，则，解得，又因为，故只有时成立，得，所以；【小问2详解】将的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，得到的图象， 再将得到的图象向左平移个单位长度，得的图象.令，当时，，在上单调递增，在上单调递减，故，所以，当时，，当时，，故在上的值域为.22.已知函数的定义域为，且，，都有成立.（1）求，的值，并判断的奇偶性.（2）已知函数，当时，.（i）判断在上的单调性；（ii）若均有，求满足条件的最小的正整数.【答案】（1），，是奇函数（2）（i）单调递减；（ii）【解析】【分析】（1）利用赋值法，根据函数的奇偶性的定义证明即可；（2）（i）根据函数的单调性的定义证明即可；(ii)根据函数单调性和奇偶性的性质得到关于的不等式，解出即可．【小问1详解】令，得，解得， 令，得，故.令，得，即，又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数.【小问2详解】（i）由，可得，即.，且，有，因，所以，从而，得，因此在上单调递减.（ii）因为，，所以是偶函数.，而在上单调递减，则有或，由题可知，只需考虑成立，从而有.因为，所以，则的最大值在处取到，故只需.综上，满足条件的最小的正整数.【点睛】本题难点在证明单调性时，构造，结合已知进行证明，属于难题.