正弦函数、余弦函数的性质（一）2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修一.pptx

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正弦函数、余弦函数的性质（一） 新课程标准核心素养1.了解周期函数的概念、正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期.数学抽象数学运算2.了解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性.直观想象逻辑推理3.了解正弦函数与余弦函数的单调性，并会利用函数单调性求函数的最值和值域.数学抽象数学运算 一、值域和最大(小)值x6yo--12345-2-3-41y=sinx正弦函数y=sinx定义域：R值域：[-1，1] x6yo--12345-2-3-41y=cosx余弦函数y=cosx定义域：R值域：[-1，1] 令3x+=π32kπ+π2x=+(k∈Z)时，ymax=22kπ3π18令3x+=π32kπ-π2x=-(k∈Z)时，ymin=-22kπ35π18令2x+=2kππ6x=kπ-(k∈Z)时，ymin=-2π12x=kπ+(k∈Z)时，ymax=45π12 二.周期函数的概念由正、余弦函数的图象可知,正、余弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理论依据是什么？sin(x+2kπ)=sinxcos(x+2kπ)=cosx若f(x)=sinx，则f(x+2kπ)=f(x)当任意自变量x的值增加2kπ(k∈Z)时，函数值会重复出现.函数的这种特性叫做周期性。 正弦函数f(x)=sinx、余弦函数f(x)=cosx都是周期函数.周期函数的定义:对于函数f(x)，如果存在一个_______T，使得当x取定义域内的______值时，都有__________那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.非零常数每一个f(x+T)=f(x)最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.正、余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z,k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π． 说明1.周期T应该是非零常数.可以是正数,也可以是负数.2.周期函数f(x+T)=f(x)对定义域中每个x值都恒成立.3.对于f(x+T)=f(x)，自变量本身加的常数才是周期.4.周期函数的周期不止一个.(若T是f(x)的一个周期,则kT(k∈Z且k≠0)都是f(x)的周期) 问题1:等式sin(300+1200)=sin300成立，能否说明1200是正弦函数y=sinx,x∈R的一个周期？为什么？不能!因为sin(x+1200)=sinx并不对任意x∈R都成立。问题2：判断下列说法是否正确？①如果f(x+2kπ)=f(x)(k∈Z)，那么2kπ是函数f(x)的周期()②函数f(x)=sinx（x∈[0,4π]）是周期函数（）③所有周期函数都有最小正周期()╳╳╳任意性非零性多值性 例1.求下列函数的周期：⑴y=3cosx,x∈R;⑵y=sin2x,x∈R;∵3cos(x+2π)=3cosx,∴周期为2π.∵sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,∴函数的周期为π.解：（3）令，由x∈R得z∈R，且y＝2sinz的周期为2π于是，所以，x∈R．原函数的周期为4π 一般地，函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ),x∈R(A≠0，ω>0)的(最小正)周期是多少?T==4π2π12oyxT=π2 解析：易知f(x)的最小正周期T＝6，则有f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.则f(0)＋f(1)＋…＋f(13)＝2[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(12)＋f(13)＝f(12)＋f(13)＝f(0)＋f(1)＝2＋1＝3. 例2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.①求函数的最小正周期；②计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)．[解]①∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期为4.②f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＋f(2015)＝0，f(2016)=f(0)＝0,f(2017)=f(1)＝1,∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)=1 f()=f(+3)=-15212利用周期将所求的往已知区间转化 三.正弦函数、余弦函数的奇偶性y=sinx，x∈R，定义域关于原点对称，f(-x)=-f(x)正弦函数y=sinx是奇函数1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？x6yo--12345-2-3-41正弦曲线关于原点O对称 x6yo--12345-2-3-41y=cosx，x∈R，定义域关于原点对称，f(-x)=f(x)余弦函数y=cosx是偶函数余弦曲线关于y轴对称 判断下列函数的奇偶性(1)已知x∈R,所以定义域关于原点对称f(-x)=-sin(-3x)=sin3x=-f(x),为奇函数(2)已知x∈R,所以定义域关于原点对称f(-x)=sin(-x)+1=-sinx+1，非奇非偶(3)已知x∈R,所以定义域关于原点对称f(-x)==cos(-x)cosx偶函数 oyxoyxoyxoyx