江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期期末学业质量阳光指标调研 数学 Word版含解析.docx

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苏州市2023～2024学年高二第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试卷注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3～请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线：的倾斜角为（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（）A．B．C．D．43．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，4．已知是等比数列，若，，则（）A．B．C．2D．45．在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（）A．B．2C．D．46．在空间直角坐标系中，已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（） A．B．C．D．7．在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．双曲线D．拋物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以为圆心、为半径的圆，轨道Ⅰ是以为圆心、为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在点着陆．已知直线经过，，与圆交于另一点，与圆交于另一点，若恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且，，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的有（）A．若，则是椭圆B．若，则是椭圆C．若，则是双曲线D．若，则是双曲线10．已知数列满足，（，，），设的前项和为，则下列说法正确的有（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则11．如图，在平行六面体中，已知，，为棱上一点，且，则 A．B．平面C．D．直线与平面所成角为12．在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，点，为上异于不同两点，故，的斜率分别为，，是的准线与轴的交点．若，则（）A．以为直径的圆与的准线相切B．存在，，使得C．面积的最小值为D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系中，已知荾形的边长为2，一个内角为60°，顶点，，，均在坐标轴上，以，为焦点的椭圆经过，两点，请写出一个这样的的标准方程：______．14．在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为______．15．已如圆台的高为2，上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，，两点分别在圆、圆上，若向量与向量的夹角为60°，则直线与直线所成角的大小为______．16．函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中为不超过实数的最大整数，例如：，．已知数列的通项公式为，设的前项和为，则使得的最大正整数的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，．（1）设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程；（2）求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 18．（12分）已知数列的前项和为，且（）．（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和．19．（12分）如图，在直三棱柱中，已知，，点，分别为线段，上的动点（不含端点），且，．（1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为．（1）求的标准方程；（2）若斜率为的直线（不过原点）交于，两点，点关于的对称点在上，求四边形的面积．21．（12分） 已知数列满足，（）．（1）求，及的通项公式；（2）若数列满足且，（），记的前项和为，试求所有的正整数，使得成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，左、右顶点分别为，，过且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于、两点，与的两条渐近线分别交于、两点（从左到右依次为、、、），记以为直径的圆为圆．（1）当与圆相切时，求；（2）求证：直线与直线的交点在圆内． 苏州市2023～2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】，选A2．【答案】D【解析】由双曲线的定义知，选D3．【答案】C【解析】对于A，，三个向是，，共面对于B，，三个向量，，共面对于D，，所以三个向量，，共面对于C，若，不存在实数，使得等式成立，所以，，不共面选C4．【答案】A【解析】由，所以，则，由，所以所以，选A5．【答案】C【解析】直线：过定点，圆：，圆心，半径因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短为，选C 6．【答案】B【解析】对于B，若点，则，则，所以点不在平面内，选B7．【答案】B【解析】因为点在圆内，所以圆内切与圆，由两圆内切的关系可知，从而，所以点轨迹是以为焦点的椭圆8．【答案】A【解析】法1：不妨设，，，则，，所以所以①，②联立①②解得，，所以椭圆离心率选A法2：，，设轨道Ⅱ得长轴和焦距分别为和， 则，得：则，，得：，故，选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BC10．【答案】AD【解析】若，，则，，两式相减可得，所以为周期2的周期数列，，则，A正确；，B错误若，，则，因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，则，所以，C错误，D正确故选AD11．【答案】ACD【解析】易知，所以，设，为中点，则，因为四边形为菱形，所以，所以平面，平面，所以，A正确； 对于B，因为，所以，所以与不垂直，即与不垂直所以与平面不垂直，B错误对于C，，所以，C正确对于D，选项A中已经证明平面，所以直线与平面所成角即为直线与所成角的余角，，而，所以，所以直线与所成角为所以直线与平面所成角为，D正确故选ACD法2：为空间基底来解决问题由题意知：，则：故A正确，B错误；，则：，C正确；显然有，且又故，从而易得：是平面的一个法向量 设与平面所成角为，则，D正确；因此，选ACD．12．【答案】ABD【解析】，，则得：，故直线过焦点，选项AD正确，故选项B正确；设直线的倾斜角为，则，选项C错误；（或注意到当为通径时，，故选项C错误）因此，选ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】（答案不唯一）14．【答案】【解析】由抛物线的定义知，，所以当点位于射线与抛物线交点时，取最大值15．【答案】 【解析】法1：在上的投影向量为，故设直线与直线所成角为，则，即法2：如图，，则，为等边三角形，点在圆上的射影为，则为中点，所以，，在中，则即与所成角为法3：以为原点建系，，，故，即所成角为．16．【答案】59【解析】，故时，，共项其和为 又时，，故，因此，所求正整数的最大值为59.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）因为为中点，，，所以．因为四边形为平行四边形，所以，由，，得，所以．由知直线的斜率为，所以直线的方程为，即所求直线的方程为．（2）因为四边形为平行四边形，且，，，设，由得解得，又由得，且，所以点为圆心，与直线相切的圆的标准方程为．18．【解析】（1）令得因为（），所以（，），两式相减得（，），即．所以（，），所以，即，所以（，），又，所以（）． （2）由（1），所以．19．【解析】（1）在直三棱柱中，因为，所以，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系（如图），设（），（）又，所以可得，，，，，，，，所以，，因为，所以，所以，所以，即该直三棱柱的高为2．（2）在直三棱柱中，有平面，又，由（1）知，（），所以，当且仅当时取“＝”即点，分别为线段，的中点时，三棱锥的体积最大．此时，，，所以，，设是平面的一个法向量， 则即取，得，又平面的一个法向量为，所以，因为平面与平面的夹角为锐角，所以．20．【解折】（1）由题意，所以，又因为，所以，，所以的标准方程为．（2）设直线：（），，，．将代入：中，化简整理得，于是有所以，因为点关于的对称点为，所以解得即因为在上，所以，解得．又因为点到直线的距离， 所以由对称性得第二问法2：设：，：，则，，，解得，则代入：，得：，则，则故．21．【解析】（1）将代入，得，，令，得，，所以，又，从而，所以，从而（2）由，又，，所以是以2为首项、3为公比的等比数列，所以，所以因为，所以．因为， 所以，即当时，无解；当时，因为，所以当且仅当时，取最大值1，即的解为．综上所述，满足题意的的值为2．第2问法2：（2），，，则故是首项为2，公比为3的等比数列，则，即，即，即令，则时，，即时，，即，时，故满足方程的正整数只有2即使得成立的正整数为222．【解析】（1）因为，所以．所以，所以圆的半径．由题意知的斜率存在，设：（）．当与圆相切时，到的距离， 即，解得由得，即，解得，，所以．（2）设，，由得，此时，，，解得，且所以，因为，，所以：，：，联立，方程，消去得．所以，即，所以．将代入方程得，即．因为，所以所以，即直线，的交点在圆内．法2：（1），得：，故： ，圆半径为1，设：，则：，得：，则；（2）证：设：，，，，，显然有，即，双曲线的渐近线斜率为，故