浙江省台州市2023-2024学年高一上学期1月期末数学Word版.docx

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台州市2023学年高一年级第一学期期末质量评估试卷数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若幂函数fx=xx的图象过点4,2，则f3的值为A．19B．33C．32D．32．函数fx=lgx−1的定义域是A．1,+∞B．[1,+∞)C．−∞,1∪1,+∞D．R3．下列函数在其定义域上单调递增的是A．fx=−1xB．fx=12xC．fx=log2xD．fx=tanx4．若a>0，b>0,，a+b=1，则A．1a+1b≤1B．4ab≤1C．a2+b2≥1D．a+b≤15．下列四组函数中，表示同一函数的是A．y=x,u=v2B．y=lnx2,s=2lntC．y=x2−1x−1,m=n+1D．y=sinx+π2,y=−cosx6．已知tanα+β=−2,tanα−β=7，则tan2α=A．13B．−13C．913D．−9137．已知lg2≈0.3010，若2nn∈N是10位数，则n的最小值是A．29B．30C．31D．328．已知函数fix=1mi2πe−x−ni22mi2mi,ni∈R,i∈{1,2,3}部分图象如图所示，则学科网（北京）股份有限公司 A．m1=m2,n1>n2B．m1>m2,n1=n2C．m3>m1,n3>n1D．m3>m2,n3>n2二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知a>b>c>0，则A．a+c>b+cB．ac>bcC．aa+c>bb+cD．ax0，且a≠1）的图象过定点，则该定点的坐标是 .15．已知tanα=3,sinπ−α+sinπ2−αcosπ+αcosπ2+α的值为 .16．若函数fx=x2−2x+x−aa>0在[0,2]上的最小值为1，则正实数a的值为 .四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）计算：（1）3π−33+823−23×213；（2）lg4+lg25−log23×log34.18．（12分）已知A={x∣x−1x−3<0}，B={x∣x>m}.（1）若m=2，求A∩B;（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围.学科网（北京）股份有限公司 19．（12分）已知函数fx=32sinx+cos2x2+m的最大值为2.（1）求常数m的值：（2）先将函数fx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移π6个单位长度，得到函数gx的图象，求gx在区间[0,π2]的取值范围.20．（12分）从①flog32=−13;②函数fx为奇函数；③fx的值域是−1,1这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题。问题：已知函数fx=a3x+1−1,a∈R,且 .（1）求函数fx的解析式；（2）若fa⋅3x+2+f9x+m≤0对任意x∈R恒成立，求实数m的最小值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21．（12分）如图是一种升降装置结构图，支柱OP垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱OP上，轨道最低点D，PD=2，OD=12.液压杆OA、OB，牵引杆CA、CB，水平横杆AB均可根据长度自由伸缩，且牵引杆CA、CB分别与液压杆OA、OB垂直.当液压杆OA、OB同步伸缩时，铰点A、B在圆形轨道上滑动，铰点C、E在支柱OP上滑动，水平横杆AB作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.（1）设劣弧AD⌢的长为x，求水平横杆AB的长和AB离水平地面的高度OE（用x表示）；（2）在升降过程中，求铰点C、E距离的最大值.22．（12分）已知函数fx=−12x+12+5,x<1,x2+2x,x≥1.（1）用单调性定义证明：fx在[1,+∞)上单调递增；（2）若函数y=fx−mm∈R有3个零点x1,x2,x3，满足x12},所以A∩B={x∈R∣20，所以y−a−1y+1<0.…………2分由fx的值域是−1,1得a−1=1,故a=2.…………4分（2）∀x1,x2∈R，且x10，所以函数fx=23x+1−1在R上单调递减，…………5分又因为fx=23x+1−1=1−3x1+3x，满足f−x=1−3−x1+3−x=3x−13x+1=−fx,所以fx为奇函数.…………7分因此，fa⋅3x+2+f9x+m≤0，可得f2⋅3x+2≤f−9x−m,结合单调性，知2⋅3x+2≥−9x−m，所以m≥−9x−2⋅3x−2.…………10分令3x=t>0，记y=−9x−2⋅3x−2=−t2−2t−2，故y∈−∞,−2.所以m≥−2，故m的最小值为−2.…………12分21．（1）解：记轨道圆心为T，则AT=1,设劣弧AD⌢的长为x，则∠ATD=x,得AB=2AE=2sinx,…………3分OE=OT−cosx=32−cosx.…………6分（2）学科网（北京）股份有限公司 由条件易知△AEC∼△OEA，则CE=AE2OE=sin2x32−cosx=1−cos2x32−cosx，…………9分令32−cosx=t.则CE=3t−t2−54t=3−t+54t,t∈12,52,…………10分因为t+54t≥5，当且仅当t=52时，取到等号，…………11分所以CE的最大值为3−5.…………12分22．（1）解：∀x1,x2∈[1,+∞)，且x12,，x1⋅x2>1,所以x1+x2x1x2>2，得x1+x2x1x2−2>0,…………3分又由x10，…………11分所以x3∈2,32，得[10x3]=14.…………12分注：在②中，若考生未对gx的单调性给出证明，阅卷时不扣分.学科网（北京）股份有限公司