重庆市第八中学2024届高三上学期一诊适应性考试数学（原卷版）.docx

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重庆八中高2024级高三（上）一诊适应性考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）AB.C.D.2.设，则复数的模为（）A.B.C.1D.3.已知，为单位向量，当向量，的夹角等于时，向量在向量上的投影向量为（）A.3B.C.D.4.若一个圆锥的母线长为，且其侧面积与其轴截面面积的比为，则该圆锥的高为（）AB.C.D.5.在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为（）AB.C.D.6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）AB.C.D.7.已知，，则（）A.B.C.D.8.在正三棱台中，，，，则正三棱台 的外接球体积为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则（）A.当时，B.当时，C.当，且、均非零时，D.当时，四棱锥体积恒为定值10.等差数列与的前项和分别为与，且，则（）A.当时，B.当时，C.D.11.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，于，直线与交于，两点，若，则（）A.B.C.D.12.已知，，则（）A.当时，为奇函数B.当时，存在直线与有6个交点 C.当时，在上单调递减D.当时，在上有且仅有一个零点三、填空题：本题共4小题．13.设一组样本数据的方差为0.01，则数据，，，的方差为_________．14.过点的直线将圆分割成弧长比值为的两段圆弧，则的斜率为_________．15.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________．16.设双曲线的左、右焦点分别为，，为的左顶点，，为双曲线一条渐近线上的两点，四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为_________．四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列的首项，公差为，为的前项和，为等差数列．（1）求与的关系；（2）若，为数列的前项和，求使得成立的的最大值．18.已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求；（2）若，点在边上，，且，求．19.如图，在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，其中，为中点． （1）证明：平面平面；（2）已知，二面角的大小为，求三棱锥的体积．20.2023年高考分数公布后，经过相关部门的计算，本次高考总分不低于680的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格．经统计甲班和乙班分别有3名和4名学生获得高校的“强基计划”入围资格，而且甲班和乙班高考分数高于690分的学生分别有1名和2名．高校的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，，三个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得，，的概率分别为，，；总分不高于690分的同学在每科笔试中取得，，的概率分别为，，；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不高于690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取．若甲、乙两个班本次高考总分不低于680的同学都报考了高校的“强基计划”．（1）分别求出总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率以及该生被高校提前录取的概率；（2）从甲、乙两班随机抽取一个班，再从该班获得高效的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，求这两位同学都通过“强基计划”被高校提前录取的概率．21.已知斜率为1的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．（1）求的离心率；（2）设的左焦点为，若，求过，，三点的圆的方程．22.已知函数． （1）证明：当时，；当时，．（2）正项数列满足：，，证明：（i）数列递减；（ii）．