四川省泸州市合江县马街中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学 Word版含解析.docx

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马街中学2023年秋期高二第三学月考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标是（    ）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意结合抛物线方程运算求解.【详解】因为抛物线方程为，即，即，可得，且焦点在y轴正半轴上，可知抛物线的焦点坐标是.故选：D.2.某社区为迎接2022农历虎年，组织了庆祝活动，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为12：15：13，如果采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个80人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为（）A.20B.22C.24D.26【答案】D【解析】【分析】由分层抽样抽样比可得答案.【详解】由分层抽样可知，抽取青年人人数为.故选：D．3.已知两直线，平行，则的值是（）A.7B.0或7C.D.7或【答案】B 【解析】【分析】根据直线平行可得关于的方程，解方程求得结果.【详解】解得：或本题正确选项：【点睛】本题考查根据直线的位置确定参数范围，关键是明确直线的斜率和截距所处的范围.4.已知一组数据的平均数是2，那么另一组数据的平均数为A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据平均数计算公式可直接求解．【详解】因为的平均数是2，即所以平均数为【点睛】本题主要考查平均数的计算公式，属于基础题型.5.圆与直线的交点个数是A.2B.1C.0D.与m有关【答案】A【解析】【分析】求出直线过定点，判断出定点在圆内可得答案.【详解】把直线化为，令，，解得，直线过定点，把代入，说明定点在圆内，则直线与圆必有2个交点.故选：A. 6.若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用与表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用，表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：由题意得椭圆的离心率，所以．所以．所以双曲线的离心率．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.7.在平行六面体中，，，，，，，则的长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由，利用向量数量积的运算律及已知求的长.【详解】如下图， ，则，所以，又，，所以.故选：B8.已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（）A.B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得直线l的方程为，再求出圆C的圆心坐标与半径，由面积的最小值为求得，再由点到直线的距离公式求解k，可得直线l的方程，进一步求得直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值．【详解】解：由题意可得直线l的方程为，圆C的圆心，半径为1，如图： ，又，当取最小值时，取最小值，此时，可得，，则，解得，则直线l的方程为，则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线（不同时为0），则（）A.当时，与轴垂直B.当时，与轴重合C.当时，过原点D.当时，的倾斜角为锐角【答案】BC【解析】【分析】根据直线方程的特征一一分析即可.【详解】对于A：当时直线（），即，表示与轴平行（重合）的直线，故A错误；对于B：当时直线，即，即与轴重合，故B正确； 对于C：当时直线，此时满足方程，即过原点，故C正确；对于D：当时直线，即，斜率，所以的倾斜角为钝角，故D错误；故选：BC10.已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】分焦点在轴，轴上进行讨论，根据条件求出即可【详解】由于焦点在直线上，则当焦点在y轴上时，令，所以焦点坐标为：，设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的方程为：当焦点在x轴上时，令，所以焦点坐标为：，设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的方程为：，故选：BC.11.已知空间中三点、、，则下列结论不正确的有（）A.与是共线向量B.的单位向量是C.与夹角余弦值是 D.平面的一个法向量是【答案】ABC【解析】【分析】利用共线向量的坐标关系可判断A选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用法向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，，，因为，则、不共线，A错；对于B选项，的单位向量为，B错；对于C选项，，，所以，与夹角的余弦值是，C错；对于D选项，设为平面的法向量，则，取，则，，所以，平面的一个法向量为，D对.故选：D.12.已知双曲线下焦点为，O为坐标原点，在双曲线的一条渐近线上存在一点M使是以M为直角顶点的等腰直角三角形，若点M与双曲线上顶点的连线交双曲线的下支于点N，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为B.双曲线的离心率为C.点N在圆内D.的大小为45°【答案】BD【解析】【分析】设点M在上，可得与垂直，可判断AB错误；双曲线的上顶点设为 ，直线和双曲线方程联立可得，由轴，，，，可判断CD..【详解】不妨设点M在上，因为是以M为直角顶点的等腰直角三角形，所以与垂直，，且，所以渐近线方程为，，故A错误，B正确；由题意，双曲线的上顶点设为，所以直线：和双曲线方程联立，可得，所以轴，因为，所以，因为，所以N在圆上.故选：BD.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长为___________.【答案】2【解析】【分析】由双曲线的虚轴长的定义可得.【详解】双曲线方程为，所以，所以虚轴长为.故答案为：2.14.已知，，人进行射击比赛，且，，一次射击命中环的概率分别为，， ，若他们每人射击一次，则至少有人命中环的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式直接求解.【详解】人中至少有人命中环即人命中环或人命中环，故所求概率，故答案为：.15.已知直线：12x－5y＝3与圆x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.【答案】4【解析】【分析】首先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解.【详解】把圆的方程化成标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9，所以圆心坐标为(3，4)，半径r＝3，所以圆心到直线12x－5y＝3的距离d＝＝1，则|AB|＝2＝4.故答案为：16.已知点是椭圆上的动点，点为直线上的动点，对给定的点，则的最小值为________．【答案】16【解析】【分析】根据点关于直线对称性，结合两点间距离最短、配方法进行求解即可【详解】设点关于直线对称的点为，所以有，∴，故，∴当，，三点共线时，可取得最小值，此时， 设，由得∴∵，∴当时，，故的最小值为16．故答案为：16．【点睛】关键点睛：利用两点间线段最短，结合配方法是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.（1）求平行四边形的顶点的坐标；（2）在中，求边上高线所在直线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出线段中点坐标，再利用平行四边形的性质得为线段中点，从而利用中点坐标公式列方程组求解即可；（2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可.【小问1详解】设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有，解得，所以；【小问2详解】因为直线的斜率为，所以边上的高线所在直线的斜率为，又，故边上的高线所在直线的方程为，即为.18.为了解我市高三学生参加体育活动的情况，市直属某校高三学生500人参加“体育基本素质技能”比赛活动，按某项比赛结果所在区间分组：第1组：，第2组：，第3组：，第4组：，第5组：，得到不完整的人数统计表如下：比赛结果所在区间人数5050a150b其频率分布直方图为： （1）求人数统计表中的a和b的值；（2）根据频率分布直方图，估计该项比赛结果的中位数；（3）用分层抽样的方法从第1，2，3组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加上一级比赛活动，求参加上一级比赛活动中至少有1人的比赛结果在第3组的概率.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图求出比赛结果在及内的频率即可得解；(2)利用频率分布直方图求中位数的方法计算即得；(3)求出第1，2，3组中各抽的人数，再用列举法即可求出概率.【详解】（1）由频率分布直方图得，比赛结果在内的频率为：，则，比赛结果在内的频率为：，则，所以人数统计表中的a和b的值分别为200，50；（2）由频率分布直方图知，比赛结果在内的频率为0.2，比赛结果在内的频率为0.6，则中位数应在内，所以估计该项比赛结果的中位数为：；（3）因第1，2，3组的频率分别为0.1，0.1，0.4，则利用分层抽样在第1，2，3组中抽的人数比为，于是得抽取的6人中，第1组抽取1人，第2组抽取1人，第3组抽取4人，记第1组抽取的1位同学为A，第2组抽取的1位同学为B，第3组抽取的4位同学为，，，，则从6位同学中抽两位同学有：，，，，，，，，，，，，，，，共有15种等可能结果，其中2人比赛结果都不在第3组的有：，共1种可能， 所以至少有1人比赛结果在第3组的概率为.19.已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为.（1）求双曲线的标准方程；（2）过的直线l与双曲线的一支交于两点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据渐近线方程即可得，利用顶点坐标即可求得双曲线的标准方程；（2）根据题意设直线方程为并于双曲线联立，利用交点位置限定出的取值范围，表示出关于的表达式即可求得其取值范围．【小问1详解】由渐近线方程为，所以，右顶点为，所以，，故双曲线的标准方程为．小问2详解】如下图所示：根据题意易知，直线斜率存在，并设直线l的方程为，设， 则联立直线和双曲线消去可得．因为直线与双曲线一支交于两点，所以，解得，因此．因为，所以，所以，所以，故．20.如图，在直四棱柱中，，为棱的中点，点在线段上，且．（1）证明：．（2）若二面角的余弦值为，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标表示证明即可； （2）求出平面，平面的法向量，利用向量夹角公式列出关于的方程，求解即可．【小问1详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．因为，所以，所以，故．【小问2详解】因为，所以．设平面的法向量为，则，令，得．易得平面的一个法向量为．，解得（舍去）．故的值为．21.椭圆：的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，先得，再由得，即可求得椭圆的方程；（2）易知直线斜率存在，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，由韦达定理可得和，根据为直角可得，代入即可求得斜率的值.【小问1详解】由题，椭圆焦点在轴上，且，，所以，又，所以，所以椭圆的方程为.【小问2详解】由题，过点满足题意的直线斜率存在，设，联立，，消去得，，令，解得.设两点的坐标分别为，则，因为为直角三角形，则为直角，所以，即， 所以，所以，解得.22.已知抛物线C：的焦点为，准线与坐标轴的交点为，、是离心率为的椭圆S的焦点.（1）求椭圆S的标准方程；（2）设过原点O的两条直线和，，与椭圆S交于A、B两点，与椭圆S交于M、N两点.求证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用抛物线的焦点坐标以及椭圆的离心率可求出椭圆方程；（2）先根据椭圆的对称性以及平面几何知识证明原点O到直线AM和到直线BN的距离相等，然后设出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用根与系数关系和点到直线距离公式可求出结果.【小问1详解】化抛物线C：的方程为标准方程，即C：.得抛物线C的焦点，设椭圆S的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c.则由题意得，，得.∴，又椭圆S的焦点在y轴上.∴椭圆S的标准方程为.【小问2详解】证明：由题意知A、O、B共线，M、O、N共线，且，又由椭圆的对称性，知，.∴四边形AMBN为菱形，且原点O为其中心，AM、BN为一组对边.∴原点O到直线AM和到直线BN的距离相等下面求原点O到直线AM的距离. 根据椭圆的对称性，不妨设A在第一象限.当直线AM的斜率为零或不存在时，四边形AMBN为正方形，直线AB和直线MN的方程分别为和，且轴或轴.设，则或.于是，有，得.原点O到直线AM的距离为.当直线AM的斜率存在且不等于零时，设AM：.由，消去并整理得，且.设，，则，，∴.由，得，即，得，满足.∴原点O到直线AM的距离为.∴原点O到直线BN的距离也为.综上所述，原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.