四川省泸州市合江县马街中学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学 Word版含解析.docx

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马街中学2023年秋期高一第三学月考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出，阴影部分集合为，由此能求出结果.【详解】因为集合，集合，所以，由图可知：阴影部分表示集合为，故选：.2.已知命题：，，则为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得出答案.【详解】命题：，，则为，.故选：D. 3.函数的部分图像大致为（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案.【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除AC；根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除D.故选：B4.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数在上单调递增，则对称轴求解.【详解】因为函数在上单调递增，所以,解得.故选：B【点睛】本题主要考查二次函数的单调性的应用，属于基础题.5.若且，则（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，由此求得的值.【详解】由解得，由于，所以函数为奇函数，故,故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用奇偶性求函数值，属于基础题.6.已知，，且，若恒成立.则实数的取值范围是（　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为，，且，则，当且仅当时，等号成立，所以，，即，解得.故选：D.7.设，，则（）AB.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据对数的运算法则即可求解.【详解】由得，所以，故选：C8.已知函数满足条件：对于，唯一的，，使得，当成立时，则实数a＋b的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可得在上单调递增，则值域为，则当时，的值域为，可得，在结合，代入解得．【详解】设当时，的值域为，当时，的值域为则根据题意可得当时，在上单调递增，则即，则∵，即且，则∴故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】 【分析】由题可得给定命题的否定为真命题的a的取值集合，再利用充分条件，必要条件的定义分析即得.【详解】由题可知命题的否定“”为真，等价于，即命题“”为真命题所对集合为，所以所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于，显然只有，{4},所以选项AC不符合要求，选项BD正确.故选：BD.10.已知关于x不等式的解集是或，则下列说法正确的是（）A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是【答案】ABC【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集性质进行逐一判断即可.【详解】因为关于x的不等式的解集是或，所以有，因此选项A正确；，因此选项B正确；，因此选项C正确；，因此选项D不正确，故选：ABC 11.已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】由函数的对称性判断BD，构造函数判断出AC错误.【详解】因为为偶函数，所以，函数关于对称，因为为奇函数，所以，函数关于点对称，因为函数定义域为，所以，B正确；又因为函数关于对称，所以，由可得令，，D正确；可构造函数满足题意，此时，AC错误；故选：BD12.已知函数，设（，2，3）为实数，，且，则（）A.函数的图象关于点对称B.不等式的解集为C.D.【答案】ABD【解析】【分析】对A，由可判断；对B，根据函数单调递增可求解；对CD，根据的性质画出函数图象，表示出直线的方程，根据均在直线上方建立不等关系可得. 【详解】对A，，函数的图象关于点对称，故A正确；对B，在上单调递增，且，则化为，则，解得，故不等式的解集为，故B正确；对CD，，则可得，且关于点对称，在上单调递增，可得函数图象如下：均在直线上方，其中直线的方程为，则可得，，所以，，，即，故C错误，D正确.故选：ABD.第II卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知函数的图像恒过定点________【答案】【解析】【分析】利用指数函数恒过定点的性质即可求解.【详解】因，则令，即，代入，则，所以函数的图像恒过定点，故答案为：【点睛】本题考查了指数函数的性质，需熟记指数函数恒过定点，属于基础题.14.若为奇函数，则_______.【答案】【解析】【分析】先根据函数是奇函数求出a的值，再求解.【详解】由题得函数的定义域为R,因为函数是奇函数，所以.所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查奇函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15.方程：的解为__________.【答案】【解析】【分析】移项化简，然后求解指数方程可得.【详解】原方程等价于， ，即有，整理得，解得，即.故答案为：.【点睛】本题主要考查对数方程的求解，明确对数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.定义：如果任取一个正常数，使得定义在上的函数对于任意实数，存在非零常数，使，则称函数是“函数”．在①，②，③，④这四个函数中，为“函数”的是______（只填写序号）．【答案】②【解析】【分析】根据“函数”，依次判断各选项中的是否为常数即可.【详解】对于①，令，则，不是常数，不是“函数”；对于②，令，则为常数，是“函数”；对于③，令，则，不是常数，不是“函数”；对于④，令，则，不是常数， 不是“函数”.故答案为：②.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题的求解，解题关键是能够充分理解“函数”的定义，即为常数的函数，从而根据运算法则来求解即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1）；（2）.【答案】(1)；(2)4【解析】【分析】（1）由实数指数幂的运算性质，准确计算，即可求解，得到答案；（2）根据对数的运算性质，准确计算，即可求解，得到答案.【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：原式.（2）根据对数的运算性质，可得：原式.【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简求值问题，其中解答中熟记指数幂和度数的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18.设集合，，（1）若，求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出集合，再利用交集运算进行求解； （2）根据，可得，结合集合运算可得答案.【小问1详解】因为，所以，所以.【小问2详解】因为，所以；当时，，即；当时，，即；综上可得.19.已知函数．（1）若对于，恒成立，求实数的取值范围；（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）讨论二次项系数是否为零，即可根据相应函数的性质求出；（2）先将分参变形为，再求出函数在上的最小值即可解出．【详解】（1）由题意可得，当时，恒成立，符合题意；当时，要恒成立，只需．故的取值范围为．（2）∵对于恒成立，令，，，，∴，∴． 故实数的取值范围为．【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法应用，涉及分类讨论思想和分离参数法的应用，属于基础题．20.已知定义在上的奇函数，且．（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明之；（3）解关于实数的不等式．【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用列方程组，解方程组求得；（2）首先判断出单调性，再根据定义法证明单调性；（3）根据的奇偶性和单调性，列出关于的不等式即可求解【小问1详解】因为为奇函数，所以即，整理得，解得，又因为，解得，综上所述，，；【小问2详解】在上单调递增，证明如下：由（1）可得，对于任意，，且， ，，即，，在上单调递增，得证；【小问3详解】由是奇函数，则不等式可整理成，因为是定义在的奇函数，且在上单调递增，所以在上是增函数，则，解得，所以的取值范围是21.二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）求在上的最小值.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设，由得，由，得，解方程组求出，的值，从而求出函数的解析式；（2）对讨论，注意对称轴和区间的关系，由单调性即可得到最小值．【小问1详解】解：设，因为，所以，即，根据，即， 解得，，所以；【小问2详解】解：函数，其对称轴为，当即时，区间为减区间，最小值为；当，即时，取得最小值1；当，即时，区间为增区间，取得最小值．综上可得时，最小值为；时，最小值为1；时，最小值为．22.已知函数，，函数．若的最大值为0，记，求的值；当时，记不等式的解集为M，求函数，的值域是自然对数的底数；当时，讨论函数的零点个数．【答案】（1）0；（2）；（3）见解析【解析】【分析】函数的最大值为0，解得，从而，由此能求出;当时，的解集，函数，当时，令，则，，由此能求出y的值域; 由此利用分类讨论思想能求出函数的零点个数．【详解】函数的最大值为0，，解得，，．当时，的解集，函数，当时，令，则，，的值域为．．，为的一个零点，，，，，即1为的零点．当时，，，在上无零点．当时，，在上无零点，在上的零点个数是在上的零点个数，，，．当，即时，函数无零点，即在上无零点．当，即时，函数的零点为， 即在上有零点．当，即时，，函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点．综上所述，当时，有1个零点，当时，有2个零点．当时，有3个零点．【点睛】本题考查函数值、函数的值域的求法，考查函数的零点个数的讨论，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论与整合思想，是中档题．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．