四川省绵阳市南山中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学题（原卷版）.docx

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绵阳南山中学2023年秋季高2022级12月月考数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知直线：，下列说法正确的是（）A.倾斜角为B.倾斜角为C.方向向量可以是D.方向向量可以是2.设空间向量则（）A.4B.6C.8D.93.甲､乙两人下棋，甲获胜概率为，乙获胜的概率为，则甲､乙两人下成平局的概率是（）A.B.C.D.4.正四面体的棱长为2，点D是的中点，则的值为（）A.B.C.D.5.已知，直线是双曲线一条渐近线，则点到直线的距离为（）A1B.2C.3D.46.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是（）A.在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数B.早睡人群睡眠指数主要集中在C.早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小 D.晚睡人群睡眠指数主要集中在7.在三棱锥中，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（）A.2B.1C.D.8.正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（）A.B.直线与直线夹角是C.点到平面的距离为D.直线与平面平行二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)9.已知，，是空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.在上的投影向量为D.，，一定能构成空间的一个基底10.某单位为了解职工健康情况，采用分层随机抽样的方法从5000名职工中抽取了一个容量为100的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，下列说法正确的是（）A.样本为该单位的职工B.每一位职工被抽中的可能性为 C.该单位职工平均体重D.单位职工的方差11.已知圆，点，下列说法正确的是（）A.直线过定点B.圆上存在两个点到直线的距离为2C.过点作圆的切线，则的方程为D.若点是圆上一点，，当最小时，12.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.当时，C.以线段为直径圆与直线相切D.当最小时，切线与准线的交点坐标为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.直线与直线垂直，则直线在轴上的截距是_________.14.如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是_________.（注：事件A的对立事件用符号表示）15.已知椭圆的上下焦点分别为、，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为_________. 16.已知点，，曲线上的任意点满足，曲线与双曲线的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次为，且，则的离心率为______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：，（1）求直线与的交点坐标；（2）过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程．18.为了普及“宪法”知识，南山社区针对本社区中青年人举办了一次“宪法”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本校的“宪法”宣传使者.现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，求两位组长来自不同组的概率.19.已知抛物线的焦点为，且经过点.（1）求；（2）若过点的直线与抛物线交于不同的两点，为坐标原点，证明:.20.莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条中垂线的交点）共线．这条线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，．（1）求的欧拉线方程；（2）记的外接圆的圆心为C，直线l：与圆C交于A，B两点，且 ，求的面积最大值．21.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，二面角的大小是，分别是的中点，交于点．（1）求证：平面；（2）设是直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值．22.设、分别是椭圆的左、右焦点，若_____，请以下两个条件中任选一个补充在横线上并作答．①四点、、、中，恰有三点在椭圆上；②椭圆经过点，与轴垂直，且．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.（1）求椭圆的离心率；（2）设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点，过点作线段的垂线，垂足为，判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？并证明你的结论.