浙江省杭州市北斗联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学（原卷版）.docx

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2023学年高二年级第一学期杭州北斗联盟期中联考数学试题考生须知：1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（）A.2iB.C.2D.3.“”是“直线与直线互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（）A.25B.5C.D.5.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（） A.B.C.D.6.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则A.B.C.D.7.如图，在三棱锥中，点为底面重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（）A.B.C.D.8.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（） A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.有一组样本甲的数据，一组样本乙的数据，其中为不完全相等的正数，则下列说法正确的是（）A.样本甲的极差一定小于样本乙的极差B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差C.若样本甲的中位数是，则样本乙的中位数是D.若样本甲的平均数是，则样本乙的平均数是10.已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若点O到直线AB的距离为，则C.若，则的最大值为D.若，则的最大值为411.已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号相同”，事件B＝“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C＝“抽取的两个小球标号之和大于8”，则（）.A.事件A与事件B是互斥事件B.事件A与事件B对立事件C.D. 12.如图，在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面或内部一点，直线与底面所成角分别记为，且，记动点P的轨迹与棱的交点为，则下列说法正确的是（）A.为中点B.线段长度的最小值为5C.存在一点，使得平面D.若在正四棱柱表面，则点的轨迹长度为非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.过点且方向向量为的直线的方程为___________．14.已知，，且，则最小值为______.15.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为______．16.已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则的最小值是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．18.亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第19届杭州2022年亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，某地举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，右图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第10的选手分数；（2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至少有1位是95分以下选手的概率是多少？（3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为12，试求所有选手的平均分和方差.19已知函数.（1）若方程在上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围；（2）在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度.20.已知圆：M：.关于直线对称，记点，过点. 的直线与圆相切于点.（1）求的最小值；（2）当取最小值时，求切点所在的直线方程.21.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.（1）求证：平面；（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.22.在区间上，如果函数为减函数，而为增函数，则称为上的弱减函数.若（1）判断在区间上是否为弱减函数（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围