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时间：2024-09-01
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第五节可降阶的高阶微分方程 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的方程来求解。前面介绍了四种标准类型的一阶方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用降阶法求解，一般都没有初等解法， 以二阶方程为例展开讨论重点讨论能将二阶导数解出的情况如果我们设法作变量代换把它从二阶降至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来求解 一、型特点：右端不含仅是x的函数解法：将作为新的未知函数降阶令有变量可分离的一阶方程积分即再积分 对n阶方程同理令积分得如此连续积分n次即得原方程的含有n个任意常数的通解 一般情况特点：解法：z的(n-k)阶方程可得通解. 例1解 例2解代入原方程解线性方程,得两端积分,得原方程通解为 练习解方程解令 二、型特点：右端不含y解法：降阶令代入原方程得若已求得其通解为回代得变量可分离的一阶方程积分得 解方程解即例3 例4解方程解令分离变量得即由由故 三、型特点：右端不含x降阶解法：令由复合函数求导法则得代入原方程得这是一个关于y，p的一阶方程 若已求得它的通解为变量可分离的一阶方程积分得即得原方程的通解一般情况特点：解法： 求得其解为原方程通解为 例5解代入原方程得原方程通解为 例6.解初值问题解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得 例7解方程解令若即积分得即或若则包含在通解中 思考与练习 作业P329:1(3)(5),2(6). 为曲边的曲边梯形面积上述两直线与x轴围成的三角形面综合题.二阶可导,且上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,区间[0,x]上以解:于是在点P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.积记为 再利用y(0)=1得利用得两边对x求导,得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为
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